granica ciągu

[kasia_119]

Witam. Mam prośbę o sprawdzenie czy to jest dobrze:
Policzyc granice ciagu \(\displaystyle{ \sqrt[n]{2^{n}+3 \cdot 5^{n} -7}}\)

\(\displaystyle{ 3 \cdot 5^{n} \le 2^{n}+3 \cdot 5^{n} -7 \le 3 \cdot 5^{n}+3 \cdot 5^{n}+3 \cdot 5^{n}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{3} \cdot 5 \le \sqrt[n]{2^{n}+3 \cdot 5^{n} -7} \le \sqrt[n]{9 \cdot 5^{n}}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{9 \cdot 5^{n}} = \sqrt[n]{9} \cdot 5 \rightarrow 1 \cdot 5=5}\)
Z gory dziekuje

[kristoffwp]

Oczywiście nierówność \(\displaystyle{ 3 \cdot 5^{n} \le 2^{n}+3\cdot 5^{n} -7}\) zachodzi dla \(\displaystyle{ n>2}\). Musisz pokazać, że oba ciągi ograniczające zbiegają do liczby \(\displaystyle{ 5}\). Zamiast \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) powinno być \(\displaystyle{ \sqrt[n]{3}}\).

[kasia_119]

Jeśli dobrze zrozumiałam, wystarczy dopisać jeszcze że
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{3} \cdot 5=1 \cdot 5=5}\)
A czy jest jakiś inny sposób, oprócz tw. o trzech ciągach, na rozwiązanie tego typu zadania?

[kristoffwp]

Raczej \(\displaystyle{ \sqrt[n]{3} \cdot 5 \xrightarrow {n \rightarrow \infty}1 \cdot 5=5}\).
Co do innych metod - nie wiem. To sztandarowy przykład na tw. o trzech ciągach