Dzielniki zera w Pierścieniu

[laurix]

Dany jest element odwracalny \(\displaystyle{ a \in R}\) taki, że w grupie addydytwnej pierścienia \(\displaystyle{ (R,+)}\) rząd \(\displaystyle{ a}\) równa się \(\displaystyle{ 4}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ x+x+x+x=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in R}\).

[ymar]

To że rząd \(\displaystyle{ a}\) jest \(\displaystyle{ 4}\), znaczy tyle, że \(\displaystyle{ a+a+a+a = 0}\) oraz \(\displaystyle{ a+a+a != 0}\). Zastanów się jak z tego przejść do analogicznego stwierdzenia o elemencie \(\displaystyle{ 1}\). Następnie jak stąd otrzymać tezę.

[laurix]

Rozumiem, że \(\displaystyle{ a+a+a+a = 0}\), ale dlaczego wynika z tego, że \(\displaystyle{ a+a+a \neq 0}\) ?

[Zordon]

\(\displaystyle{ x+x+x+x=aa^{-1}x+aa^{-1}x+aa^{-1}x+aa^{-1}x=xa^{-1}(a+a+a+a)=0}\)

[laurix]

Dziękuję:)