Dzielniki zera w Pierścieniu

[laurix]

Niech \(\displaystyle{ D}\) oznacza zbiór dzielników zera w \(\displaystyle{ R}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ D}\) jest niepusty. Udowodnić, że \(\displaystyle{ D \cup \left\{ 1\right\}}\) nie jest grupą względem mnożenia w \(\displaystyle{ R}\).

[sneik555]

Weźmy \(\displaystyle{ a,b \in D}\) t. że
\(\displaystyle{ ab= 0_{R}}\), ale \(\displaystyle{ 0_{R} \notin D}\), więc \(\displaystyle{ D}\) nie jest zamknięte na działanie, więc nie jest to grupa.

[ymar]

Elementy tego zbioru nie mają również elementów odwrotnych względem mnożenia i jedynki pierścienia.

Załóżmy, że mam \(\displaystyle{ a\neq 0}\), takie że istnieją \(\displaystyle{ b\neq 0\neq c}\), że \(\displaystyle{ ca=ab=0.}\)

Załóżmy, że istnieje \(\displaystyle{ d}\), takie że \(\displaystyle{ ad=da=1}\).

Wtedy \(\displaystyle{ a(d+b)=ad+ab=1-0=1}\). Zatem \(\displaystyle{ d-b}\) jest elementem lewostronnie odwrotnym do a. Czy umiesz pokazać, że w grupie jednostronne odwrotności pokrywają się z obustronnymi odwrotnościami i że w związku z tym każdy element może mieć tylko jedną? Stąd \(\displaystyle{ d+b=d}\) czyli \(\displaystyle{ b=0}\) sprzeczność z założeniem.

[Zordon]

Elementy tego zbioru nie mają również elementów odwrotnych względem mnożenia i jedynki pierścienia.

Załóżmy, że mam \(\displaystyle{ a\neq 0}\), takie że istnieją \(\displaystyle{ b\neq 0\neq c}\), że \(\displaystyle{ ca=ab=0.}\)

Załóżmy, że istnieje \(\displaystyle{ d}\), takie że \(\displaystyle{ ad=da=1}\).

Wtedy \(\displaystyle{ a(d+b)=ad+ab=1-0=1}\). Zatem \(\displaystyle{ d-b}\) jest elementem lewostronnie odwrotnym do a. Czy umiesz pokazać, że w grupie jednostronne odwrotności pokrywają się z obustronnymi odwrotnościami i że w związku z tym każdy element może mieć tylko jedną? Stąd \(\displaystyle{ d+b=d}\) czyli \(\displaystyle{ b=0}\) sprzeczność z założeniem.

Nie wiem jaki ma sens rozważanie zbioru (i wykonywanie działań na jego elementach), mimo że to działanie nie jest w nim dobrze określone.

[laurix]

Dziękuję:)

[Vardamir]

Istnieją w tym zbiorze elementy \(\displaystyle{ a,b}\) takie że \(\displaystyle{ a\cdot b=0}\) , natomiast \(\displaystyle{ 0}\) do niego nie należy, zatem nie jest zamknięty na działanie.