Mam następujący przykład:
\(\displaystyle{ \int \int_{S} xz dy dz + x^{2}y dx dz + y^{2}z dx dy}\)
Gdzie \(\displaystyle{ S= \begin{cases} z=x^{2}+y^{2} \\ x^{2}+y^{2}=1 \\ x \ge 0;y \ge 0;z \ge 0 \end{cases}}\)
Pytanie pierwsze - 1. Wydaje mi się, że trzeba to zad. rozwiązać właśnie korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego. Jak mogę jednak orzec, że badana powierzchnia jest zamknięta? Czy "zamknięcie" oznacza, że z każdej strony badany obiekt ma ścianę? i nie ma powierzchni bocznych bez przykrycia?
2. Czy mogę rozwiązać to zadanie tak jak zwykłą całkę powierzchniową zorientowaną tj. rozbić na 3 całki \(\displaystyle{ P, Q, R}\) i następnie je zsumować? Np.
\(\displaystyle{ \int \int_{S} y^{2}z dx dy=\int \int_{D} y^{2} \left( x^{2}+y^{2}\right) dx dy}\)
Czy może zamiast \(\displaystyle{ y^{2} \left( x^{2}+y^{2}\right)}\) powinno być \(\displaystyle{ y^{2} \cdot \left( 1\right)}\) ?
Co przy następującej zmianie zmiennych na: \(\displaystyle{ \begin{cases} y=rsin \alpha \\ x=rcos \alpha \\ 0 \le \alpha \le \frac{ \pi }{2} \\ 0 \le r \le 1 \end{cases}}\)
Da:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{ \pi }{2}} \left[\int_{0}^{1}r^{2}sin^{2} \alpha \cdot r^{2} \cdot r dr \right] d \alpha}\)
Czy to rozwiązanie kontynuowane, na 2 pozostałe całki dałoby poprawny wynik?