Mógłby ktoś rozwiązać i wytłumaczyć ten przykład?
Dobrać parametry a i b tak, aby funkcja f określona wzorem \(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 2e ^{-x} dla x<0
\\ b+1 dla x=0 \\ \frac{1-e ^{az} }{tgx} dla x>0 \end{cases}}\) była ciągła w \(\displaystyle{ x _{0}=0}\).
Ciągłość funkcji
-
chris_f
- Użytkownik
- Posty: 2726
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Ciągłość funkcji
Zacznijmy od "lewej".
\(\displaystyle{ \lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}2e^{-x}=2}\)
Aby funkcja była ciągła, to musi być spełniony warunek \(\displaystyle{ \lim_{x\to0^-}f(x)=f(0)=b+1}\), skąd \(\displaystyle{ b=1}\).
Obliczamy teraz
\(\displaystyle{ \lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{1-e^{ax}}{\tan x}\left[\frac00\right]\stackrel{H}{=}\lim_{x\to0^+}\frac{-ae^{ax}}{\frac{1}{\cos^2x}}=-a}\)
Stąd oczywiście \(\displaystyle{ a=-2}\)
Brakujące przejścia i zapisy pouzupełniasz (przy okazji dowiesz się, co z czego się bierze).
\(\displaystyle{ \lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}2e^{-x}=2}\)
Aby funkcja była ciągła, to musi być spełniony warunek \(\displaystyle{ \lim_{x\to0^-}f(x)=f(0)=b+1}\), skąd \(\displaystyle{ b=1}\).
Obliczamy teraz
\(\displaystyle{ \lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{1-e^{ax}}{\tan x}\left[\frac00\right]\stackrel{H}{=}\lim_{x\to0^+}\frac{-ae^{ax}}{\frac{1}{\cos^2x}}=-a}\)
Stąd oczywiście \(\displaystyle{ a=-2}\)
Brakujące przejścia i zapisy pouzupełniasz (przy okazji dowiesz się, co z czego się bierze).