Wiecie może jak rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ x \cdot u_{x}+u \cdot u_{y}=0}\) przy warunku \(\displaystyle{ u(1,y)=-y}\)
Proszę pomóżcie bo jutro mam koło i nigdzie nie mogę znaleźć jak taki przykład rozwiązać choć pewnie jest prosty
Równanie różniczkowe pierwszego rzędu
-
octahedron
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
Równanie różniczkowe pierwszego rzędu
Równanie quasiliniowe, czyli metoda charakterystyk:
\(\displaystyle{ x=x(t,s),\,y=y(t,s),\,u=u(t,s)\\\\
\begin{cases}\frac{dx}{dt}=x\\\frac{dy}{dt}=u\\\frac{du}{dt}=0\\x(0,s)=1\\y(0,s)=s\\u(0,s)=-s\end{cases}\\\\\\\\
\begin{cases}x=C_1e^t\\y=C_2+C_3t\\u=C_3\\x(0,s)=C_1=1\\y(0,s)=C_2=s\\u(0,s)=C_3=-s\end{cases}\\\\\\\\
\begin{cases}x(t,s)=e^t\\y(t,s)=s-st\\u(t,s)=-s\end{cases}\\\\\\\\
\begin{cases}t=\ln x\\s=\frac{y}{1-t}=\frac{y}{1-\ln x}\end{cases}\\\\\\\\
u(x,y)=\frac{y}{\ln x-1}}\)
\(\displaystyle{ x=x(t,s),\,y=y(t,s),\,u=u(t,s)\\\\
\begin{cases}\frac{dx}{dt}=x\\\frac{dy}{dt}=u\\\frac{du}{dt}=0\\x(0,s)=1\\y(0,s)=s\\u(0,s)=-s\end{cases}\\\\\\\\
\begin{cases}x=C_1e^t\\y=C_2+C_3t\\u=C_3\\x(0,s)=C_1=1\\y(0,s)=C_2=s\\u(0,s)=C_3=-s\end{cases}\\\\\\\\
\begin{cases}x(t,s)=e^t\\y(t,s)=s-st\\u(t,s)=-s\end{cases}\\\\\\\\
\begin{cases}t=\ln x\\s=\frac{y}{1-t}=\frac{y}{1-\ln x}\end{cases}\\\\\\\\
u(x,y)=\frac{y}{\ln x-1}}\)