Wykazać, że ciąg jest zbieżny

[Yeoman93]

Dany niech będzie ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})_{n=0}^{\infty}\subset R}\) spełniający zależność:

\(\displaystyle{ a_{n+2}=\left(a_{n}^{2^n}+a_{n+1}^{2^n}\right)^{\frac{1}{2^n}}}\), \(\displaystyle{ n=1,2...}\)

Wykazać, że ciąg jest zbieżny.

Z góry dziękuję za wszelkie wskazówki, rozwiązanie czy jakkolwiek zechcecie pomóc. Męczę się już z tym od kilku dni i poddaję się

[leszczu450]

Przede wszystkim zadaj sobie pytanie jakie warunki musza być spełnione, żeby ciąg był zbieżny. Potrafisz je wymienic?

[Yeoman93]

Jeśli masz na myśli monotoniczność i ograniczoność to właśnie w to próbowałem uderzyć. Ale nie potrafię

[leszczu450]

Yeoman93, tam na pewno jest \(\displaystyle{ a_{n+2}}\) ?-- 3 lut 2013, o 17:41 --Głupek jestem. Pewnie, że to \(\displaystyle{ a_{n+2}}\). A próbowałeś wypisać \(\displaystyle{ a_{n+3}}\) i porównać sobie ?

[spec]

Liczby w nawiasie są dodatnie.
Suma dwóch liczb dodatnich jest większa od... - tak zbadasz monotoniczność

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ a_{n+2}=(a_{n+1}^{2^n}+a_{n}^{2^n})^{1/2^n} \ge (a_{n+1}^{2^n})^{1/2^n}=a_{n+1}}\)

Suma dwóch liczb dodatnich jest mniejsza od... - tak pokażesz że jest ograniczony

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ a_{n+2}=(a_{n+1}^{2^n}+a_{n}^{2^n})^{1/2^n} \le (2a_{n+1}^{2^n})^{1/2^n}= 2^{1/2^n}a_{n+1}}\) itd aż do \(\displaystyle{ a_1}\)