Miara zbioru

adamsstr · Post autor: **adamsstr** » 2 lut 2013, o 22:13

Dana jest miara borelowska \(\displaystyle{ \mu}\) na \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2}}\) spełniająca warunek:
\(\displaystyle{ \mu((-\infty ,a]\times (-\infty ,b])=e^{a+b}}\).

Oblicz \(\displaystyle{ \mu((0,1]^{2})}\).

Próbowałem przedstawiać ten kwadrat za pomocą iloczynu ciągu zstępującego, ale ciągle mi nie pasuje to \(\displaystyle{ -\infty}\) w warunku. Za pomocą rysunku wyszło mi \(\displaystyle{ e^{2}-2e+1}\), ale rysunek to marne uzasadnienie. Ktoś pomoże?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 2 lut 2013, o 22:16

Jeśli sobie to obetniemy do \(\displaystyle{ \RR}\), to dostaniemy \(\displaystyle{ \nu\left(-\infty,a]\right)=e^a}\). Trywialnie \(\displaystyle{ (-\infty,1]=(-\infty,0]\cup(0,1]}\), a więc \(\displaystyle{ \nu\left((0,1]\right)=e^1-e^0=e-1}\).

A teraz wejdź sobie na płaszczyznę Widać, że dobrze policzyłeś.

adamsstr · Post autor: **adamsstr** » 2 lut 2013, o 22:22

Teraz to się wydaje takie proste, a ja nad tym siedziałem masę czasu, dziękuję!

szw1710 pisze:\(\displaystyle{ (0,1]=(-\infty,0]\cup(0,1]}\)

Tutaj chyba mały błąd

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 2 lut 2013, o 22:24

Tak, ale wiadomo o co chodzi - nie prostuję Przynajmniej obliczenie poprawne. Tak jest jak kursujesz między żoną, dziećmi a... matematyką.

A niech tam... poprawiłem.