Mam w zeszycie cos takiego, ale nic z tego nie rozumie. Dalbys rady ktos mi to wytlumaczyc ?
A nazywamy zbiorem miary \(\displaystyle{ 0}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow \vee e > 0 [a_i,b_i ]}\) gdzie \(\displaystyle{ i=1,..,n}\)
taki ze
\(\displaystyle{ A \subset \bigcup_{i=1}^{n} [a_i,b_i] \wedge \sum_{i=1}^{n} (b_i-a_i) \le e}\)
Tw
Kazdy podzbior skoczony jest zbiore miary \(\displaystyle{ 0}\)
Dowod
\(\displaystyle{ A = [x1,..xn}\)
\(\displaystyle{ e > 0}\)
\(\displaystyle{ \vee i = 1,...n}\) \(\displaystyle{ x_i \in [a_i,b_i ]}\)
\(\displaystyle{ a_i = x_i - \frac{e}{2n}}\)
\(\displaystyle{ b_i = \frac{e}{2n}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}(b_i-a_i)=n \cdot \frac{e}{n}=e \le e}\)
O co tu w ogole chodzi ? Na razie pomijajac dowod, chcialbym zrozumiec ta definicje
Zbior miary zero
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Zbior miary zero
Albo niedokładnie przepisałeś definicję z tablicy do zeszytu, albo też z zeszytu na forum.
Mówimy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest miary zero, jeśli dla dowolnego \(\displaystyle{ \varepsilon}\) można dobrać przedziały \(\displaystyle{ [a_i,b_i]}\) (dowolnie dużą skończoną liczbę takich przedziałów), które całkowicie pokrywają zbiór \(\displaystyle{ A}\), a jednocześnie suma ich długości nie przekracza \(\displaystyle{ \varepsilon}\), tzn.
\(\displaystyle{ A \subseteq \bigcup_{i=1}^{n}[a_i,b_i]}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n|b_i-a_i| \le\varepsilon}\).
Intuicyjnie - zbiór jest miary zero, jeśli do jego pokrycia wystarczy skończona liczba dowolnie małych przedziałów.
Na przykład - zbiór \(\displaystyle{ \{1,2\}}\) jest miary zero, bo dla ustalonego \(\displaystyle{ \varepsilon >0}\) możemy dobrać przedziały \(\displaystyle{ \left[ 1- \frac{\varepsilon}{4}, 1 + \frac{\varepsilon}{4}\right]}\) i \(\displaystyle{ \left[ 2- \frac{\varepsilon}{4} , 2+\frac{\varepsilon}{4}\right]}\), których suma długości nie przekracza \(\displaystyle{ \varepsilon}\) i które pokrywają nasz zbiór.
Uwaga: w zasadzie przedziały z definicji powinny być otwarte, a nie domknięte.
Q.
Mówimy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest miary zero, jeśli dla dowolnego \(\displaystyle{ \varepsilon}\) można dobrać przedziały \(\displaystyle{ [a_i,b_i]}\) (dowolnie dużą skończoną liczbę takich przedziałów), które całkowicie pokrywają zbiór \(\displaystyle{ A}\), a jednocześnie suma ich długości nie przekracza \(\displaystyle{ \varepsilon}\), tzn.
\(\displaystyle{ A \subseteq \bigcup_{i=1}^{n}[a_i,b_i]}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n|b_i-a_i| \le\varepsilon}\).
Intuicyjnie - zbiór jest miary zero, jeśli do jego pokrycia wystarczy skończona liczba dowolnie małych przedziałów.
Na przykład - zbiór \(\displaystyle{ \{1,2\}}\) jest miary zero, bo dla ustalonego \(\displaystyle{ \varepsilon >0}\) możemy dobrać przedziały \(\displaystyle{ \left[ 1- \frac{\varepsilon}{4}, 1 + \frac{\varepsilon}{4}\right]}\) i \(\displaystyle{ \left[ 2- \frac{\varepsilon}{4} , 2+\frac{\varepsilon}{4}\right]}\), których suma długości nie przekracza \(\displaystyle{ \varepsilon}\) i które pokrywają nasz zbiór.
Uwaga: w zasadzie przedziały z definicji powinny być otwarte, a nie domknięte.
Q.