Całkowanie przez podstawianie

[sebool12]

\(\displaystyle{ \dint{\cos ^{7}x\sin x}{x}}\)
Jak do tego podejść? Biorąc
\(\displaystyle{ t=\cos x}\)
\(\displaystyle{ \mbox{d}t=-\sin x \cdot \mbox{d}x}\)
Prawie pasuje tylko ten minus, co z nim ? Przemnażam przez \(\displaystyle{ -1}\) i daje go po prostu do \(\displaystyle{ \mbox{d}t}\) ?

[fnt]

podstawienie dobre. minus możesz wyłączyć przed calke:)

[sebool12]

Jak to ugryźć?

\(\displaystyle{ \dint{ \frac{2 ^{x} }{ \sqrt{1-4 ^{x} } }}{x}}\)

[Sugaku]

Podstawienie \(\displaystyle{ t \ = \ 2^x}\) i otrzymujesz :

\(\displaystyle{ \ln 2 \int \frac{\dd t}{ \sqrt{1-t^{2}} }}\)

A to już chyba wiadomo jak rozwiązać.

[cholada]

Z całkowania przez podstawienie mam taki przykład: (podstawić \(\displaystyle{ t=\cos x}\))
\(\displaystyle{ \dint{\frac{\sin 2x}{4+\cos x}}{x}}\)
\(\displaystyle{ \sin 2x=2\sin x\cos x}\) i tu się zacięłam.

[Sugaku]

Podstawiam \(\displaystyle{ \ t = \cos x \ \Rightarrow \ \ddt = -\sin x \dd x}\)

\(\displaystyle{ -2\int \frac{t \dd t}{4+t}}\)

[cholada]

Jak obliczyć później tę całkę? Tzn już po podstawieniu cos?

[Sugaku]

Przecież to elementarna całka już, np.

\(\displaystyle{ -2\dint{ \frac{t+4-4}{t+4}}{t}= -2\dint{1}{t}+8 \int \frac{\dd t}{t+4}=-2t+8\ln |t+4|+C= \\ =-2\cos x+8\ln |\cos x+4|+C}\)

[cholada]

Nie rozumiem skąd się tam wzięło \(\displaystyle{ +8\int\frac{\dd t}{4+t}}\) ?

[Sugaku]

Po rozbiciu:

\(\displaystyle{ -2\dint{}{t}-2 \int \frac{-4 \dd t}{t+4} =-2\dint{}{t}+8\int \frac{\dd t}{t+4}}\)

[cholada]

Ahaa, ok, dziękuję bardzo.