równanie jednorodne

[adf91]

Mam taki przykład:
\(\displaystyle{ tyy'=t ^{2}+ y ^{2}}\) przy założeniach początkowych \(\displaystyle{ y \left( 1 \right) =0}\)
Mój tok muyślenia:
\(\displaystyle{ tyy'=t ^{2}+ y ^{2}/:ty}\)
\(\displaystyle{ y'= \frac{t}{y}+ \frac{y}{t}}\)
\(\displaystyle{ y'= \frac{1}{z}+ z}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dz}= \frac{1}{z}+ z/ \cdot dz}\)
\(\displaystyle{ dy= \frac{1}{z}dz+zdz}\)
\(\displaystyle{ \int dy= \int \frac{1}{z}dz+ \int zdz}\)
\(\displaystyle{ y=\ln \left| z\right| + \frac{z ^{2} }{2}+C}\)
\(\displaystyle{ y=\ln \left| \frac{y}{t} \right| + \frac{y ^{2} }{2t ^{2} }+C}\)
I co dalej moge z tym zrobic?
Bo gdy podstawiam zagadnienie początkowe wychodzi mi \(\displaystyle{ \ln \left| 0\right|}\).

[yorgin]

\(\displaystyle{ y'= \frac{t}{y}+ \frac{y}{t}}\)
\(\displaystyle{ \red y'= \frac{1}{z}+ z}\)

To nie jest prawdą.

Jeśli podstawiasz \(\displaystyle{ z=\frac{y}{t}}\), to \(\displaystyle{ y=tz}\), czyli \(\displaystyle{ y'=z't+z}\). Zatem powinno to wyglądać następująco:

\(\displaystyle{ z't+z=\frac{1}{z}+z}\)

[adf91]

OK zatem tak:
\(\displaystyle{ z't+z= \frac{1}{z}+z}\)
\(\displaystyle{ \frac{dz}{dt} t= \frac{1}{z}/ \cdot dt}\)
\(\displaystyle{ tdz= \frac{1}{z}dt/:t/ \cdot z}\)
\(\displaystyle{ zdz= \frac{1}{t} dt}\)
\(\displaystyle{ \int zdz= \int \frac{1}{t} dt}\)
\(\displaystyle{ \frac{z ^{2} }{2} =\ln \left| t\right|+C}\)
\(\displaystyle{ \frac{y ^{2} }{2t ^{2}} =\ln \left| t\right|+C}\)
Po podstawieniu warunku \(\displaystyle{ C=0}\)
\(\displaystyle{ y= \sqrt{2t ^{2} \ln \left| t\right| }}\)

Czy teraz jest OK?

[yorgin]

Jest OK.