Moc zbiorów

[Marcin_92]

Prosiłbym o sprawdzenie czy dobrze określiłem moc poniższych zbiorów:
a) \(\displaystyle{ \NN \times \NN \times ... \times \NN}\)
b) \(\displaystyle{ \NN \times \NN \times ...}\)
c) \(\displaystyle{ \RR \times \RR \times ... \times \RR}\)
d) \(\displaystyle{ \RR \times \RR \times ...}\)
e) Moc zbioru wszystkich ograniczonych ciągów o nieujemnych wyrazach rzeczywistych
f) Moc zbioru wszystkich malejących ciągów ciągów o nieujemnych wyrazach rzeczywistych


\(\displaystyle{ \mathfrak C}\) dla b), c), d), e), f)
\(\displaystyle{ \aleph_0}\) dla a)

[yorgin]

a) b) c) d) odpowiedź nie jest poprawna tak długo, jak nie napiszesz, ile jest elemetnów iloczynu. Mogę sobie wziąc \(\displaystyle{ 10, \aleph_0,\mathfrak{c}}\) itp.

W e) i f) chyba jednak będzie więcej tych ciągów.

[Ciastko]

podpunkt d to chyba \(\displaystyle{ 2^{\mathfrak C}}\)

[laser15]

Więc jak to będzie?

[yorgin]

To zależy, ile jest zbiorów w iloczynie kartezjańskim w pierwszych czterech podpunktach. Bo może być ich dowolnie dużo.

[laser15]

No więc \(\displaystyle{ 2^{\mathfrak C}....}\) ?

A w reszcie ?

[yorgin]

Przeczytaj moje pytanie.

Ile jest zbiorów w tym iloczynie:

\(\displaystyle{ \NN \times \NN \times ...}\)

i ile w każdym z pozostałych przykładów a)-d)?

[93Michu93]

to ma znaczenie np. w a)?
Jeżeli \(\displaystyle{ \aleph_0 \times \aleph_0 = \aleph_0}\) to ile by ich tam nie było, i tak moc będzie \(\displaystyle{ \aleph_0}\). Tak mi się wydaje

[yorgin]

Nie, bo jak jest ich nieprzeliczalnie wiele, to wyjdzie zbiór nieprzeliczalny.-- 31 stycznia 2013, 18:19 --Wystarczy również przeliczalnie wiele i też będzie nieprzeliczalny.

[laser15]

No al właśnie nie mam tego podanego ;] Wiec jeżeli tyklko bedzie tam 2 to \(\displaystyle{ \aleph_0 \times \aleph_0 = \aleph_0}\) reszta to con. ?

[yorgin]

Będzie \(\displaystyle{ \aleph_0}\) tak długo, jak jest ich skończenie wiele. Continuum jak przeliczalnie wiele. Schody zaczynają się, gdy jest ich więcej niż continuum.

[Jan Kraszewski]

No al właśnie nie mam tego podanego ;]

Będzie \(\displaystyle{ \aleph_0}\) tak długo, jak jest ich skończenie wiele. Continuum jak przeliczalnie wiele. Schody zaczynają się, gdy jest ich więcej niż continuum.

Skoro nie ma podanego, to zastosowany zapis należy interpretować jako \(\displaystyle{ \NN^\NN}\) w b) i \(\displaystyle{ \RR^\NN}\) w d), zatem podane w pierwszym poście odpowiedzi są poprawne.

W e) i f) chyba jednak będzie więcej tych ciągów.

Jak może być więcej, skoro wszystkich ciągów o wyrazach rzeczywistych jest tylko continuum?

JK

[yorgin]

No al właśnie nie mam tego podanego ;]

Będzie \(\displaystyle{ \aleph_0}\) tak długo, jak jest ich skończenie wiele. Continuum jak przeliczalnie wiele. Schody zaczynają się, gdy jest ich więcej niż continuum.

Skoro nie ma podanego, to zastosowany zapis należy interpretować jako \(\displaystyle{ \NN^\NN}\) w b) i \(\displaystyle{ \RR^\NN}\) w d), zatem podane w pierwszym poście odpowiedzi są poprawne.

Nie przywykłem do traktowania tego jako co najwyżej przeliczalny iloczyn kartezjański. Mimo wszystko dla rozwiana wszelkich wątpliwości powinno się zaznaczyć, ile zbiorów liczy ten iloczyn. Chyba, że zadanie pochodzi z a) podręcznika, gdzie przyjęto taką konwencję, b) z ćwiczeń/wykładu, gdzie również obowiązuje pewna konwencja.

W e) i f) chyba jednak będzie więcej tych ciągów.

Jak może być więcej, skoro wszystkich ciągów o wyrazach rzeczywistych jest tylko continuum?

JK

Tu ewidentnie zamiast liczyć \(\displaystyle{ \mathfrack{c}^{\aleph_0}}\) gdzieś wyszło mi \(\displaystyle{ \aleph_0^{\mathfrak{c}}}\), co doprowadziło do przeszacowania...

[Jan Kraszewski]

Nie przywykłem do traktowania tego jako co najwyżej przeliczalny iloczyn kartezjański. Mimo wszystko dla rozwiana wszelkich wątpliwości powinno się zaznaczyć, ile zbiorów liczy ten iloczyn.

Rozumiem Cię, tym niemniej jest to jednak pewna intuicyjna konwencja, że kropki oznaczają "do nieskończoności", gdzie "nieskończoność" jest w naturalnie intuicyjny sposób rozumiana jako ta sama "nieskończoność", z jaką masz do czynienia w przypadku ciągu. Na dość podstawowym poziomie nie jest to duże nadużycie.

JK

[yorgin]

Mam po prostu zbyt małe doświadczenie z "dość podstawowym poziomem".

Jednak: w przypadku nieskończoności szybko uczymy się, że te bywają różne (to chyba parafraza jakiegoś fragmentu książki popularnonaukowej o matematyce mi wyszła). Mając nieskończenie wiele czegoś, dalej nie wiemy, jak dużo tego jest. Stąd pojawiają się moje pytania i wątpliwości. W szczególności, gdy takie zadanie pojawia się w kontekście liczenia elementów zbiorów.