Całka z funkcji zespolonej

[Rik93]

Zad.1 Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy'ego lub jego uogólnienia obliczyć całkę:
a) \(\displaystyle{ \oint\limits_{C}^{}\frac{\sin \left( \frac{\pi}{2}z \right) }{z^{2}-1}dz,}\)
gdzie C jest okręgiem \(\displaystyle{ |z-1|=1}\) zorientowanym dodatnio.

Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \oint\limits_{C}^{}\frac{\sin \left( \frac{\pi}{2}z \right) }{z^{2}-1}dz=\oint\limits_{C}^{}\frac{\frac{\sin \left( \frac{\pi}{2}z \right) }{z+1}}{z-1}=2 \pi i \cdot \frac{\sin \left( \frac{\pi}{2} \right) }{2}=\pi i}\)
Czy jest to poprawny wynik i czym różniło by się rozwiązanie gdyby, okrąg był zorientowany ujemnie?

b) \(\displaystyle{ \oint\limits_{C}^{}\frac{dz}{z^{2} \left( z+3i \right) },}\)
gdzie C jest okręgiem |z+3i|=1 zorientowanym dodatnio.

\(\displaystyle{ \oint\limits_{C}^{}\frac{dz}{z^{2} \left( z+3i \right) }=\oint\limits_{C}^{}\frac{\frac{dz}{z^{2}}}{z+3i}=2 \pi i \cdot \frac{1}{ \left( 3i \right) ^{2}}=\frac{2\pi}{9i}}\)

Czym różniłyby się wyniki, gdyby promień był inny niż 1?

[luka52]

ad a) Ok. Gdyby orientacja była ujemna, wynik należałoby pomnożyć przez \(\displaystyle{ -1}\).

ad b) Też ok, można jeszcze przemnożyć wynik przez \(\displaystyle{ \tfrac{i}{i}}\) by \(\displaystyle{ i}\) było w liczniku. Gdyby okrąg miał większy promień, to mógłby też zawierać punkt \(\displaystyle{ z = 0}\) a tam funkcja podcałkowa również ma biegun - należałoby to wtedy uwzględnić.

[Rik93]

A w tym przykładzie:
\(\displaystyle{ |z+3|=2}\) okrąg zorientowany dodatnio.
\(\displaystyle{ \oint\limits_{C}^{}\frac{ze^{\pi z}}{ \left( z^{4}-81 \right) ^{2} \right) }dz=\oint\limits_{C}^{}\frac{ze^{\pi z}}{ \left( z-3 \right) ^{2} \left( z+3 \right) ^{2} \left( z^{2}+9 \right) ^{2}}dz=\oint\limits_{C}^{}\frac{\frac{ze^{\pi z}}{ \left( z-3 \right) ^{2} \left( z^{2}+9 \right) ^{2}}}{ \left( z+3 \right) ^{2}}}\)
I teraz powinienem skorzystać z uogólnienia wzoru Cauchy'ego?

[Chromosom]

Zgadza się.