zadania z przestrzeni metrycznej, zupełnej, spójnej,

[medziaa_90]

Mam takie zadania:

Zadanie 1
W przestrzenie \(\displaystyle{ R^2}\) z metryką euklidesową dany jest punkt
\(\displaystyle{ F = \{ (x, y) \in R^2 : x^2 + y^2< 1}\) lub \(\displaystyle{ x^2 + y^2 = n^2,}\) \(\displaystyle{ n \in N\}}\)
Wyznacz wnętrze, domknięcie i brzeg zbioru F
Odpowiedz czy i dlaczego:
a) F jest brzegowy
b) F jest zwarty
c) F jest podprzestrzenią zupełną

Zadanie 2
Udowodnij, ze jeśli \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\) jest ciągłą funkcją przestrzeni zupełnej \(\displaystyle{ (X, d)}\)w przestrzeń \(\displaystyle{ (Y, d’)}\) oraz\(\displaystyle{ \{X_n\}}\) jest ciągiem Cauchy’ego w \(\displaystyle{ X}\) to \(\displaystyle{ \{f (X_n)\}}\) jest ciągiem Cauchy’ego w \(\displaystyle{ Y}\).

Zadanie 3
Niech \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\) będzie ciągłym odwzorowaniem przestrzeni spójnej \(\displaystyle{ X}\) w przestrzeń \(\displaystyle{ Y}\). udowodnij, że jeśli zbiór \(\displaystyle{ B \subset Y}\) jest spójny oraz\(\displaystyle{ f^{-1} (B) \neq \emptyset}\) to \(\displaystyle{ f(X) \cup \bar{B}}\) jest spójny.

Zadanie 4
Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ a_n \rightarrow g}\) w przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ (X, d)}\) oraz dla każdego \(\displaystyle{ n \in N}\)
\(\displaystyle{ d(a_n, b_n) \le d(a_n,g)}\) to ciąg \(\displaystyle{ \{b_n\}}\) jest zbieżny.

Zadanie 5
Pokaż na przykładzie, że przestrzeń metryczna zupełna nie musi być ośrodkowa.

Zadanie 6
Uzasadnij, dlaczego płaszczyzny nie da się przedstawić jako przeliczalnej sumy prostych.

[szw1710]

5. Przestrzeń metryczna dyskretna określona na zbiorze nieprzeliczalnym.

[lukasz.przontka]

6. Z twierdzenia Baire'a taka suma prostych byłaby nigdziegęsta (jest zb. I kategorii), a płaszczyzna jest zbiorem II kategorii.
4. \(\displaystyle{ d(b_n,g) \leq d(b_n,a_n) + d(a_n,g) \leq 2 d(a_n,g)}\).
3. Obraz przestrzeni spójnej przez funkcję ciągłą jest zbiorem spójnym. Suma dwóch zbiorów spójnych o niepustym przekroju jest spójna.

[brzoskwinka1]

1) a) nie
b) nie
c) tak
2) Jeżeli \(\displaystyle{ (x_n )}\) jest ciągiem Cauchy'ego w \(\displaystyle{ (X,d)}\) to jest on zbieżny w \(\displaystyle{ (X,d)}\) bo przestrzeń \(\displaystyle{ (X,d)}\) jest zupełna. Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła to \(\displaystyle{ (f(x_n ))}\) jest zbieżny w \(\displaystyle{ (Y,d')}\) a zatem jest ciągiem Cauchy'ego.