Szeregi Liczbowe

[ibefree]

Witam,

Mam taki szereg liczbowy do obliczenia:

\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{(-1) ^{n} }{ \sqrt{n - lnn} }}\)

Wiem, że trzeba to liczyć z kryterium Leibniza, ale tu mam problem. Pierwszy warunkiem tego kryterium jest to aby ciąg an dążył do 0. Jak tego dowieść skoro mam \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{ \infty - \infty } }}\) ?

Z góry dzięki za pomoc,

[rafalpw]

\(\displaystyle{ n-\ln n=\ln e^n -\ln n=\ln\left( \frac{e^n}{n} \right)}\) a to dąży do nieskończoności. Aby zastosować kryterium Leibniza trzeba jeszcze pokazać, że ciąg jest malejący.

[rooker]

wyciągnij n przed nawias w mianowniku , i pamiętaj że \(\displaystyle{ \frac{\ln n}{n}=0}\)

[ibefree]

Sposób Rafała łatwiejszy do zapamiętania i bardziej przejrzysty mi się wydaje. Rafał własnie miałem na myśli ten warunek pisząc o dążeniu do "0".

Z jakiego kryterium teraz skorzystać, żeby dokończyć zadanie?

[rafalpw]

Policz iloraz \(\displaystyle{ \frac{x_{n+1}}{x_n}}\) i sprawdź czy jest większy, czy mniejszy od \(\displaystyle{ 1}\)

[ibefree]

Mógłby ktoś rozpisać ten jeden przykład, bo nie wiem jak to zrobić, aby jednoznacznie było widać jaka jest jego wartość.

[rafalpw]

Jaka jest wartość czego? Napisałem dokładnie co trzeba zrobić:
Policz taki iloraz:
\(\displaystyle{ \frac{x_{n+1}}{x_n}= \frac{ \frac{1}{ \sqrt{n+1 -\ln \left( n+1\right) } } }{ \frac{1}{ \sqrt{n- \ln n} } }= \frac{ \sqrt{n- \ln n} }{ \sqrt{n+1 - \ln\left(n+1 \right) } }= \sqrt{ \frac{n- \ln n}{n+1 - \ln\left( n+1\right) } }}\)

Wystarczy sprawdzić czy to wyrażenie jest większe czy mniejsze od \(\displaystyle{ 1}\)

[ibefree]

Wiem, że mam rozpisać przykład, który właśnie podałeś, ale chodziło mi o to, że mam problem wyliczyć z tego ilorazu konkretną wartość, żeby określić czy jest większe czy mniejsza od 1.

Rozpisanie tego w taki sposób nic mi raczej nie daje:

\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{\ln ( \frac{e ^{n} }{n} )}{\ln \left( \frac{e^{n}+1}{n+1} \right) } }}\)

Bo kompletnie nic z tego nie wynika.

[rafalpw]

Nie masz wyliczać konkretnej wartości. Masz jedynie sprawdzić, czy jest większe czy mniejsze od \(\displaystyle{ 1}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{n- \ln n}{n+1 - \ln\left( n+1\right) } }<1 \Leftrightarrow \frac{n- \ln n}{n+1 - \ln\left( n+1\right) }<1 \Leftrightarrow \\ n-\ln n<n+1 - \ln\left( n+1\right) \Leftrightarrow \ln\left( n+1\right)-\ln <1 \Leftrightarrow \ln\left( \frac{n+1}{n} \right)<1}\)

A to jest prawda, bo \(\displaystyle{ \forall_n \frac{n+1}{n}<e}\)

[ibefree]

Ok, a teraz mam taki szereg: \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{3 ^{n} \cdot (n+1)! }{2 \cdot n ^{n} }}\)

Rozpisuje go z kryterium d'Alambert'a i dochodzę do wyniku:

\(\displaystyle{ \frac{3 \cdot (n+2)n ^{n} }{(n+1) ^{n}(n+1) }}\)

Można to jeszcze jakoś uprościć? Tak, żeby określić czy jest zbieżny/rozbieżny?

[rafalpw]

Zapisz w postaci: \(\displaystyle{ 3\cdot \frac{n+2}{n+1}\cdot \left( \frac{n}{n+1}\right)^n}\) Teraz od razu widać jaka jest granica.