Zbiory domknięte i brzegowe

[kkoc]

Proszę o pomoc w zadaniu z topologii.
Zadanie. a) Podaj przykład dwóch zbiorów brzegowych, których suma nie jest brzegowa.
b) Udowodnij, że jeśli zbiór B jest brzegowy, a zbiór A jest brzegowy i domknięty, to zbiór \(\displaystyle{ A \cup B}\) jest brzegowy.
c) W szczególności suma dwóch zbiorów brzegowych i domkniętych jest brzegowa i domknięta.

Jeśli chodzi o część b) zadania to myślę, że to będzie tak:

(I)Zbiór A jest brzegowy \(\displaystyle{ \Leftrightarrow \overline {X \setminus A}=X \Leftrightarrow X \setminus \overline {X \setminus A}= \emptyset \Leftrightarrow Int A=\emptyset}\)


(II)Załóżmy, że A jest zbiorem brzegowym. Wtedy z powyższego wynika, że \(\displaystyle{ Fr A=\overline A \setminus Int A=\overline A. Zatem A \subset Fr A.}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ Int A=A\Fr A}\), więc\(\displaystyle{ Int A= \emptyset}\). Równość ta oznacza, że A jest zbiorem brzegowym na mocy (I).


Niech A i B będą zbiorami brzegowymi oraz \(\displaystyle{ A=\overline A}\). Wówczas:

\(\displaystyle{ Fr(A \cup B)= \overline {A\cup B} \cap \overline {X \setminus (A\cup B)} =(\overline A \cup \overline B) \cap \overline {(X \setminus A) \cap (X \setminus B)}= (A\cup \overline B)\cap \overline {(X \setminus A)\cap \overline {X \setminus B}}= (A\cup \overline B)\cap \overline {(X \setminus A)\cap X}= (A\cup \overline B)\cap \overline{X \setminus A}= (A\cup \overline B)\cap X= A\cup \overline B}\)

i mamy, że: \(\displaystyle{ A\cup B \subset A\cup \overline B}\) więc zbiór \(\displaystyle{ A\cup B}\) jest brzegowy na mocy (II).


Jeśli chodzi o podpunkt C) to potrafię udowodnić ,że suma dwóch zbiorów domkniętych i brzegowych jest brzegowa ale nie wiem jak pokazać że jest też domknięta.

Proszę o pomoc w szczególności z podpunktem A). Będę bardzo wdzięczna za odpowiedz.

[yorgin]

a) zbiory liczb wymiernych i niewymiernych są brzegowe, a ich suma nie jest.

c) Suma dwóch (lub dowolnie wielu, ale skończenie wielu) zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.

b) Nie rozumiem, skąd te (II) i (III). Ja to widzę krótko:

\(\displaystyle{ \overline{X\setminus (A\cup B)}=
\overline{(X\setminus A)\cap (X\setminus B)}=
\overline{(X\setminus A)\cap \overline{X\setminus B}}=\\ \ \\
\overline{(X\setminus A) \cap X}=\overline{X\setminus A}=X}\)

[kkoc]

Bardzo dziękuję:)

[_Mithrandir]

Na końcu jest błąd - zamiast zbioru pustego, powinna być cała przestrzeń.

[yorgin]

Aa faktycznie. Dzięki za zwrócenie uwagi.