równania różniczkowe cząstkowe
-
franek89
- Użytkownik
- Posty: 310
- Rejestracja: 28 lut 2009, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 110 razy
równania różniczkowe cząstkowe
Czym się różni równanie różniczkowe cząstkowe liniowe od nieliniowego?
Ostatnio zmieniony 27 sty 2013, o 14:35 przez Vardamir, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
-
szw1710
równania różniczkowe cząstkowe
Równanie liniowe: jego część jednorodna (zawierająca pochodne i nic poza tym) jest liniowa, tj. jeśli masz dwa rozwiązania, to ich suma jest też rozwiązaniem, także iloczyn rozwiązania przez liczbę też jest rozwiązaniem.
Przykład: równanie \(\displaystyle{ y^2\frac{ \partial f}{ \partial x}-2xy\frac{ \partial f}{ \partial y}=x^2+y^2}\) jest liniowe, gdyż część jednorodna, tj. \(\displaystyle{ y^2\frac{ \partial f}{ \partial x}-2xy\frac{ \partial f}{ \partial y}}\) jest liniowa. Sprawdź to biorąc dwa rozwiązania \(\displaystyle{ f_1,f_2}\).
Równanie
\(\displaystyle{ y^2\left(\frac{ \partial f}{ \partial x}\right)^2-2xy\frac{ \partial f}{ \partial y}=x}\) nie jest liniowe.
Przykład: równanie \(\displaystyle{ y^2\frac{ \partial f}{ \partial x}-2xy\frac{ \partial f}{ \partial y}=x^2+y^2}\) jest liniowe, gdyż część jednorodna, tj. \(\displaystyle{ y^2\frac{ \partial f}{ \partial x}-2xy\frac{ \partial f}{ \partial y}}\) jest liniowa. Sprawdź to biorąc dwa rozwiązania \(\displaystyle{ f_1,f_2}\).
Równanie
\(\displaystyle{ y^2\left(\frac{ \partial f}{ \partial x}\right)^2-2xy\frac{ \partial f}{ \partial y}=x}\) nie jest liniowe.
-
szw1710
-
szw1710
równania różniczkowe cząstkowe
Np. dlatego, że suma rozwiązań "części jednorodnej", tzn. tej zawierającej tylko pochodne, czyli
\(\displaystyle{ y^2\left(\frac{ \partial f}{ \partial x}\right)^2-2xy\frac{ \partial f}{ \partial y}=0}\)
nie musi być rozwiązaniem. Mamy tam kwadrat.
Także nie jest liniowe równanie \(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}\cdot\frac{ \partial f}{ \partial y}=0}\). Np. \(\displaystyle{ f(x,y)=x}\) spełnia to równanie, \(\displaystyle{ g(x,y)=y}\) także, a suma nie spełnia.
\(\displaystyle{ y^2\left(\frac{ \partial f}{ \partial x}\right)^2-2xy\frac{ \partial f}{ \partial y}=0}\)
nie musi być rozwiązaniem. Mamy tam kwadrat.
Także nie jest liniowe równanie \(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}\cdot\frac{ \partial f}{ \partial y}=0}\). Np. \(\displaystyle{ f(x,y)=x}\) spełnia to równanie, \(\displaystyle{ g(x,y)=y}\) także, a suma nie spełnia.
Ostatnio zmieniony 29 sty 2013, o 12:37 przez szw1710, łącznie zmieniany 1 raz.
-
bartek118
- Użytkownik
- Posty: 5965
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
równania różniczkowe cząstkowe
franek89: Bo masz po lewej nieliniową funkcję od pochodnej.
Ostatnio zmieniony 29 sty 2013, o 12:52 przez bartek118, łącznie zmieniany 1 raz.
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12680
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
równania różniczkowe cząstkowe
Można krótko:
Dany operator różniczkowy \(\displaystyle{ D_n}\) zależny od \(\displaystyle{ f}\) oraz wszystkich jego pochodnych cząstkowych do rzędu \(\displaystyle{ n}\) włącznie.
Równanie
\(\displaystyle{ D_nf=g}\)
jest liniowe, gdy \(\displaystyle{ D_n}\) jest liniowy. W przeciwnym wypadku równanie jest nieliniowe (tak naprawdę są jeszcze semiliniowe, quasiliniowe, i dopiero (silnie) nieliniowe).
Ale zastanawiam się, czy autor tematu zrozumie ten zapis, skoro problemy z liniowością zwykłych funkcji występują...
Dany operator różniczkowy \(\displaystyle{ D_n}\) zależny od \(\displaystyle{ f}\) oraz wszystkich jego pochodnych cząstkowych do rzędu \(\displaystyle{ n}\) włącznie.
Równanie
\(\displaystyle{ D_nf=g}\)
jest liniowe, gdy \(\displaystyle{ D_n}\) jest liniowy. W przeciwnym wypadku równanie jest nieliniowe (tak naprawdę są jeszcze semiliniowe, quasiliniowe, i dopiero (silnie) nieliniowe).
Ale zastanawiam się, czy autor tematu zrozumie ten zapis, skoro problemy z liniowością zwykłych funkcji występują...