założenia w równaniach różniczkowych

[Arcymistrz]

\(\displaystyle{ x(y^{2}-1)dx + y(x^{2}-1)dy = 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{x}{x^{2}-1}dx = \frac{-y}{y^{2}+1}dy}\)

Czy teraz muszę robić założenie, że \(\displaystyle{ x \neq \left\{ -1,1\right\} \wedge y \neq \left\{ -1,1\right\}}\)? Jeżeli tak to jak to się ma potem do rozwiązania?
Kontynuując zadanie...

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \ln\left| x^{2}-1\right| = -\frac{1}{2}\ln\left| y^{2}-1\right| + \ln\left| C\right|}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \ln\left| x^{2}-1\right| = -\frac{1}{2}\ln\left| y^{2}-1\right| - \frac{1}{2} \ln\left| C_{1}\right|}\)

\(\displaystyle{ - \ln\left| x^{2}-1\right| = \ln\left| y^{2}-1\right| + \ln\left| C_{1}\right|}\)

\(\displaystyle{ - \ln\left| x^{2}-1\right| = \ln\left| (y^{2}-1)C_{1}\right|}\)

\(\displaystyle{ -\left| x^{2}-1\right| = \left| (y^{2}-1)C_{1}\right|}\)

\(\displaystyle{ -x^{2}+1 = (+/-) C_{1}(y^{2}-1)}\)

\(\displaystyle{ 1-x^{2}=C_{2}(y^{2}-1)}\)

\(\displaystyle{ y^{2} = \frac{1-x^{2}}{C_{2}}+1, C_{2} \neq 0}\)

Czy poprawnie to rozwiązałem, teraz co z poprzednimi założeniami dot. \(\displaystyle{ y}\) (one były tylko chwilowe czy permanentne?), mógłby ktoś mi rozjaśnić nieco sprawę ?

[luka52]

No tak, musisz tak założyć, by ilorazy miały sens. W przypadku zakładania, że \(\displaystyle{ y \neq \pm 1}\) należy sprawdzić, czy nie pozbywamy się w ten sposób rozwiązań wyjściowego równania.

[Arcymistrz]

Rozumiem, że w tym wypadku \(\displaystyle{ y=1 \wedge y=-1}\) są również rozwiązaniami?

[luka52]

Tak, z tym, że symbol \(\displaystyle{ \wedge}\) nie bardzo tu pasuje.