Stopień rozszerzenia nad ciałem

[Freddy Eliot]

Witajcie,
mam problem ze zrozumieniem pewnego zadania, a brzmi ono:
Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie najmniejszym ciałem zawierającym wszystkie pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ x^3-2}\) nad ciałem \(\displaystyle{ F}\). Znajdź stopień rozszerzenia \(\displaystyle{ K}\) nad ciałem \(\displaystyle{ F}\), jeśli \(\displaystyle{ F=\mathbb{Z}_5}\).
I tu mam pytania: Mam rozłożyć ten wielomian tak, aby znaleźć 3 jego pierwiastki, następnie znaleźć ciało, nad którym ten wielomian będzie w pełni rozkładalny i ustalić \(\displaystyle{ \left[ K:F\right]}\)?
Nie jestem pewna, czy dobrze rozumuję.
Proszę o pomoc.
Dziekuję.

[Spektralny]

\(\displaystyle{ 3\in \mathbb{Z}_5}\) jest jego pierwiastkiem. Proponuję zacząć od rozłożenia tego wielmianu na iloczyn \(\displaystyle{ (x-3)}\) i pewnego trójmianu. Trójmian ten ma dokładnie dwa pierwiastki w swoim ciele rozkładu...

[Freddy Eliot]

Ok. Więc w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\) rozdzieliłam ten wielomian: \(\displaystyle{ x^3-2=(x-3)(x^2+3x+4)}\).
Nie wiem, czy dobrze rozumiem. Szukamy pierwiastka tego wielomianu w nowym ciele.
Dla \(\displaystyle{ x^2+3x+4}\) pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ 1}\) w ciele \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_7}\). Ale wtedy \(\displaystyle{ 3}\) nie jest pierwiastkiem głównego wilomianu w tym ciele.