Pole ograniczone parabolami

[opti]

Mamy obliczyć pole ograniczone parabolami:

\(\displaystyle{ y = x^2 - x - 6}\) oraz \(\displaystyle{ y = -x^2 + 5x + 14}\)

Najpierw szukam przedzialu dla których trzeba obliczyć pole, i wychodzi mi - z porównania obu parabolek - miejsca \(\displaystyle{ x = -5}\) oraz \(\displaystyle{ x = 2}\). Teraz mam obliczyć całkę oznaczoną z... No właśnie, z czego? Całkę oznaczoną z jednej paraboli minus druga (tzn. równanie pierwszej minus równanie drugiej)? Jeśli tak - dlaczego?

[szw1710]

Bo tyle mówi wzór na obliczanie pola obszaru ograniczonego dwoma wykresami funkcji. Zrób rysunek.

Krysicki I, zadanie 19.42

[opti]

Czy ma znaczenie czy odejmę pierwszą parabolę od drugiej, czy na odwrót?

[szw1710]

Zasadnicze. Wypróbuj obie możliwości, a zobaczysz jakie.

[opti]

Czyli od krzywej górnej zawsze odejmujemy dolną?

[szw1710]

Tak. Inaczej całka wyjdzie ujemna, a czy pole może być ujemne? Po to właśnie jest rysunek, żebyś określił, co jest na dole, a co na górze. Można też inaczej bez rysowania. Powiem Ci, że parabola z plusem przed \(\displaystyle{ x^2}\) jest na dole. Dlaczego? Coś trzeba wiedzieć o funkcjach wypukłych i wklęsłych, ale to zupełnie inna bajka i takie rzeczy nawet się nie wszystkim wykłada. Przez punkty przecięcia prowadzimy sieczną. Parabola z plusem jest wypukła więc leży pod sieczną, a ta z minusem nad sieczną. Więc ta z minusem jest górną, a z plusem dolną. Narysuj i się przekonaj.

[opti]

Nie, ale możemy zawsze sobie wyciągnąć moduł z takiej wartości...?

[konrad509]

Możemy

[szw1710]

Tak. Zauważ, że można wziąć pod całkę moduł z różnicy i wyjdzie na to samo. Dobrze kombinujesz.

[opti]

Zrobiłem rysuneczek poglądowy, obliczając miejsca zerowe/wierzchołki parabol. No i faktycznie widać. A jak odjąłem od niższej - wyższą (tj. znajdującą się wyżej), to wyszedł mi taki sam wynik, tyle że z minusem. Bardzo dziękuję za tłumaczenie!