Równanie różniczkowe

[koliber1000]

\(\displaystyle{ y'-\cos x \cdot y=2xe ^{\sin x}}\)
\(\displaystyle{ y(0)=4}\)

[Mariusz M]

Rownanie liniowe niejednorodne pierwszego rzedu, najpierw jednorodne pozniej np uzmiennianie stalych

\(\displaystyle{ y^{\prime}-\cos{x} \cdot y=2xe^{\sin{x}}\\
y^{\prime}-\cos{x} \cdot y=0\\
y^{\prime}=\cos{x} \cdot y\\
\frac{y^{\prime}}{y}=\cos{x}\\
\frac{ \mbox{d}y}{y}=\cos{x} \mbox{d}x \\
\ln{\left| y\right| }=\sin{x}+C\\
y=Ce^{\sin{x}}\\
y=C\left( x\right)e^{\sin{x}}\\
C^{\prime}\left( x\right)e^{\sin{x}}+C\left( x\right) \cdot \cos{x}e^{\sin{x}}-C\left( x\right) \cdot \cos{x}e^{\sin{x}}=2xe^{\sin{x}} \\
C^{\prime}\left( x\right)e^{\sin{x}}=2xe^{\sin{x}} \\
C^{\prime}\left( x\right)=2x\\
C\left( x\right)=x^2+C\\
y=\left( x^2+C\right)e^{\sin{x}}\\
y\left( 0\right)=4\\
y=\left( x^2+4\right)e^{\sin{x}}\\}\)