ekstremum warunkowe

[franek89]

Znaleźć ekstrema warunkowe funkcji
\(\displaystyle{ f(x,y)=2x^{2}y^{2}}\) pod warunkiem \(\displaystyle{ x^{4}+y^{4}-1=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial F}{ \partial x}=4xy^{2}-4\lambda x^{3}=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial F}{\partial y}=4yx^{2}-4\lambda y^{3}=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial F}{\lambda}=-(x^{4}+y^{4}-1)=0}\)
Rozwiązując powyższy układ równań otrzymujemy 8 punktów. Jak to możliwe? Jak rozwiązać powyższy układ równań>???

[bartek118]

Bardzo możliwe, że otrzymujemy 8 punktów, w czym problem?

[octahedron]

Ale po co te mnożniki? Można zrobić tak:

\(\displaystyle{ x^2=\sqrt{1-y^4}\\\\
f(x,y)=2y^2\sqrt{1-y^4}=g(y)\\\\
g(-1)=g(1)=0\\\\
g'(y)=\frac{4y(1+\sqrt{2}y^2)(1-\sqrt[4]{2}y)(1+\sqrt[4]{2}y)}{\sqrt{1-y^4}}\\\\
y\in\left\{-\frac{1}{\sqrt[4]{2}},\frac{1}{\sqrt[4]{2}}\right\}\text{ maksimum}\\\\
y\in\left\{-1,0,1\right\}\text{ minimum}}\)