Cześć, mam problem z obliczeniem takiej całki, nie wiem jak rozbić wielomian w mianowniku na czynniki pierwsze. Bardzo bym prosił o wskazówki.
\(\displaystyle{ \int\frac{7-2x}{x^2+4x+13}}\)
Całka funkcji wymiernej.
-
MichalPWr
- Użytkownik
- Posty: 1618
- Rejestracja: 29 wrz 2010, o 15:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Leszno
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 387 razy
Całka funkcji wymiernej.
\(\displaystyle{ \int\frac{7-2x}{x^2+4x+13}dx=-\int\frac{2x-7}{x^2+4x+13}dx=-\int\frac{2x+4-4-7}{x^2+4x+13}dx=}\)
\(\displaystyle{ =-\int\frac{2x+4}{x^2+4x+13}dx+11\int\frac{dx}{x^2+4x+13}=I _{1}+I _{2}}\)
\(\displaystyle{ I _{1}=-\int\frac{2x+4}{x^2+4x+13}dx=-\ln \left| x^2+4x+13\right|}\)
\(\displaystyle{ I _{2}=11\int\frac{dx}{x^2+4x+13}=11\int\frac{dx}{\left( x+2\right)^2 +9}= \frac{11}{3} \cdot \arctan\left( \frac{x+2}{3} \right)}\)
\(\displaystyle{ \int\frac{7-2x}{x^2+4x+13}dx=I _{1}+I _{2}=\frac{11}{3} \cdot \arctan\left( \frac{x+2}{3} \right) -\ln \left| x^2+4x+13\right|+C}\)
\(\displaystyle{ =-\int\frac{2x+4}{x^2+4x+13}dx+11\int\frac{dx}{x^2+4x+13}=I _{1}+I _{2}}\)
\(\displaystyle{ I _{1}=-\int\frac{2x+4}{x^2+4x+13}dx=-\ln \left| x^2+4x+13\right|}\)
\(\displaystyle{ I _{2}=11\int\frac{dx}{x^2+4x+13}=11\int\frac{dx}{\left( x+2\right)^2 +9}= \frac{11}{3} \cdot \arctan\left( \frac{x+2}{3} \right)}\)
\(\displaystyle{ \int\frac{7-2x}{x^2+4x+13}dx=I _{1}+I _{2}=\frac{11}{3} \cdot \arctan\left( \frac{x+2}{3} \right) -\ln \left| x^2+4x+13\right|+C}\)