Płaszczyzna prostopadła do płaszczyzn

[rafalpw]

Wyznacz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ \left( 3,5,7\right)}\) i prostopadłej do płaszczyzn \(\displaystyle{ \pi_1 : x-y+2z=1 \Leftrightarrow \left( x-1\right)-y+2z=0}\) i \(\displaystyle{ \pi_2 : 3x+y-z=−2 \Leftrightarrow 3x + y -\left( z-2\right)=0}\) .

Równanie płaszczyzny ma postać następującą \(\displaystyle{ \pi : A\left( x-3\right)+B\left( y-5\right)+C\left( z-7\right)}\) oraz zachodzi: \(\displaystyle{ \left[ A,B,C\right]\perp \pi}\) , czyli musi zachodzić jeszcze:
\(\displaystyle{ \left[ A,B,C\right]\perp \left[ 3,1,-1\right]}\) oraz \(\displaystyle{ \left[ A,B,C\right]\perp \left[ 1,-1,2\right]}\)

Czy dobrze zapisałem te warunki? Jeżeli nie, to proszę o korektę. Jaki jeszcze warunek muszę uwzględnić, żeby wyznaczyć to równanie?

[Kanodelo]

wektor normalny tej płaszczyzny to będzie iloczyn wektorowy wektorów normalnych \(\displaystyle{ \pi_1,\pi_2}\)
czyli \(\displaystyle{ \vec{n}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k} \\ 1&-1&2 \\ 3&1&-1\end{vmatrix}}\)

[rafalpw]

Nie do końca rozumiem, co to są za wektory \(\displaystyle{ \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}}\) . Mógłbyś wyjaśnić?
Czyli wystarczy policzyć iloczyn wektorowy wektorów normalnych do \(\displaystyle{ \pi_1}\) i \(\displaystyle{ \pi_2}\) i podstawić do równania płaszczyzny? W takim razie niepotrzebnie przekombinowałem.

[Kanodelo]

Jak to wymnożysz to liczby które stoją przed \(\displaystyle{ (i,j,k)}\) to będą współrzędne tego wektora normalnego, wyjdzie \(\displaystyle{ a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}}\) i wtedy wektor normalny ma wsp \(\displaystyle{ (a,b,c)}\)

[rafalpw]

Wiem, że wyjdą współrzędne wektora normalnego, ale nie wiem czym są liczby \(\displaystyle{ \vec{i}, \vec{j} , \vec{k}}\) To są po prostu jakieś oznaczenia pomocnicze, żeby się nie pogubić w liczeniu?

[Kanodelo]

To są wektory jednostkowe na osiach X,Y,Z czyli \(\displaystyle{ (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}\) i zawsze się je pisze jak się liczy iloczyn wektorowy

[rafalpw]

Ja byłem uczony, że \(\displaystyle{ u \times v\stackrel{df}{=}\left[ \begin{vmatrix} u_2&u_3\\v_2&v_3\end{vmatrix},-\begin{vmatrix} u_1&u_3\\v_1&v_3\end{vmatrix},\begin{vmatrix} u_1&u_2\\v_1&v_2\end{vmatrix}\right]}\) Wiem, że wychodzi na to samo, ale zawsze tak pisałem i nie używałem wektorów jednostkowych.

[Kanodelo]

Tak bo to jest to samo Ja miałem na wkładzie definicje taką, że
\(\displaystyle{ u\times v=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k} \\ a&b&c \\ d&e&f\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&d&\vec{i} \\ b&e&\vec{j} \\ c&f&\vec{k}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}b&e \\ c&f\end{vmatrix}\vec{i}+\begin{vmatrix}a&d\\c&f\end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}\vec{k}=\left( \begin{vmatrix}b&e \\ c&f\end{vmatrix},-\begin{vmatrix}a&d\\c&f\end{vmatrix},\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}\right)}\)
gdzie \(\displaystyle{ \vec{i}=(1,0,0),\vec{j}=(0,1,0),\vec{k}=(0,0,1)}\)