Zbieżność szeregu naprzemiennego

[kiler69]

Witam. Mam do sprawdzenia zbieżność takiego szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^{n-1} \frac{2n+1}{3n+1}}\)

Chcę sprawdzić zbieżność bezwzględną.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2n+1}{3n+1}}\)

Liczę granicę z kryterium D'Alamberta i dostaję 1. Więc teraz chciałbym zastosować kryterium porównawcze, ale nie wiem czym ograniczyć. Proszę o pomoc. Ja wymyśliłem jedynie coś takiego:

Wykazuję rozbieżność:
\(\displaystyle{ \frac{2n+1}{3n+1} \ge \frac{2n}{3n+n} = \frac{1}{2}}\)

[Spektralny]

Ten szereg nie spełnia warunku koniecznego - nie musisz sięgać po żadne kryteria. Po prostu policz granicę ciągu, który chcesz sumować.

[Jytug]

kiler69,
ten szereg z całą pewnością nie będzie zbieżny bezwzględnie, bo po opuszczeniu \(\displaystyle{ (-1)^{n-1}}\) wychodzi szereg zachowujący się jak \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\). Jego zbieżność (warunkowa) wynika z kryterium Leibniza ( ... m_Leibniza).
Wystarczy wykazać, że ciąg \(\displaystyle{ \frac{2n+1}{3n+1}}\) jest nierosnący

[bartek118]

kiler69,
ten szereg z całą pewnością nie będzie zbieżny bezwzględnie, bo po opuszczeniu \(\displaystyle{ (-1)^{n-1}}\) wychodzi szereg zachowujący się jak \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\). Jego zbieżność (warunkowa) wynika z kryterium Leibniza ( ... m_Leibniza).
Wystarczy wykazać, że ciąg \(\displaystyle{ \frac{2n+1}{3n+1}}\) jest nierosnący

On się nie zachowuje jak \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\). On się zachowuje jak szereg złożony z wyrazów stałych. A dla żartu granica tego ciągu (razem z -1) nie istnieje, więc szereg nie może być zbieżny.

[kiler69]

kiler69,
ten szereg z całą pewnością nie będzie zbieżny bezwzględnie, bo po opuszczeniu \(\displaystyle{ (-1)^{n-1}}\) wychodzi szereg zachowujący się jak \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\). Jego zbieżność (warunkowa) wynika z kryterium Leibniza ( ... m_Leibniza).
Wystarczy wykazać, że ciąg \(\displaystyle{ \frac{2n+1}{3n+1}}\) jest nierosnący

To, że jest nierosnący to nie wystarcza, bo jeszcze granica musi być równa 0, co tutaj niestety nie zachodzi. Więc szereg będzie rozbieżny. To już wiem, ale jak wykazać, że nie jest on zbieżny bezwzględnie?

[Spektralny]

Gdyby był zbieżny bezwględnie to byłby również zbieżny...

[kiler69]

Tak, wiem, ale jak to pokazać, że szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2n+1}{3n+1}}\) jest rozbieżny?

[najfajniejszy]

Skoro nie spełnia warunku koniecznego, to na bank jest rozbieżny.