Implikacja. Dlaczego 0=>1 jest prawdą.

[Matematol]

Chciałem się zapytać dlaczego w definicji implikacji przyjmuje się, że jeżeli \(\displaystyle{ 0 \Rightarrow 1}\) to wynikiem implikacji jest prawda. Wszystkie inne wartościowania logiczne są dla mnie intuicyjnie jasne natomiast nie potrafię sobie wyobrazić przypadku jeżeli z fałszu wywnioskuję sobie prawdę to otrzymam zdanie prawdziwe. Generalnie to nie umiem sobie wyobrazić żadnego przypadku gdzie z prawdy można wywnioskować fałsz.
Chyba najprościej byłoby zrozumieć mi to na jakimś przykładzie.

[epicka_nemesis]

Jeżeli powiem tak:
"jeżeli będziesz grzeczny to dam Ci cukierka"
więc jeżeli naprawdę będziesz grzeczny to niedotrzymałabym słowa gdybym tego cukierka Ci nie dała. Zas jeżeli będziesz niegrzeczny to... mogę zrobić cokolwiek zechcę nawet dać Ci tego cukierka ponieważ nie okresliłam co zrobię jeżeli nie będziesz grzeczny.

[leszczu450]

Matematol Takie wyrażenie\(\displaystyle{ w\left( 0\right) \Rightarrow w\left( 1\right)}\) to zawsze prawda bo matematycy stwierdzili, że z fałszu można dojść do prawdziwych wniosów i chodzi tylko i wyłacznie o to. To taka formalność.

[Matematol]

Dokładnie. Tylko chodzi mi o to aby ktoś mi pokazał jakikolwiek przykład na to jak z fałszywych wniosków można wywnioskować prawdę.

[Althorion]

Fałszywa przesłanka:
Światem rządzą kosmici.
Wnioskowanie:
Kosmitom, aby utrzymać władzę, zależy na dyskrecji. W związku z tym będą utrudniali wszelkie plany podboju kosmosu:
Prawdziwy wniosek:
NASA z roku na rok będzie otrzymywać coraz niższe fundusze.

[leszczu450]

Matematol, pozwolę sobie na zacytowanie fragmentu I rozdziału (strona 12) ksiązki Pana Jana Kraszewskiego pt. "Wstęp do matemtyki".
"(...) Pewną wątpliwość może budzić sytuacja, gdy poprzednik implikacji jest fałszywy, gdyż potoczne rozumienie sformułowania \(\displaystyle{ p \Rightarrow q}\) może się nie zgadzać z podanym określeniem implikacji. W matematyce przyjmujemy jednak, że opierając się na fałszywych założeniach, można dojść do dowolnych wniosków i dlatego zarówno zdanie \(\displaystyle{ 0 \Rightarrow 0}\), jak i \(\displaystyle{ 0 \Rightarrow 1}\) są prawdziwe."

Wszystko stanie się dla Ciebie jasne podczas przeprowadzania dowodów na ćwiczeniach, wykładach i samemu w domu. Z nieprawdy wiele razy dojdziesz do prawdy i nieprawdy i nic w tym dziwnego : ) Sztuką czasami jest dojść do tego co Cie interesuje : )

Pozdrawiam : )

[Jan Kraszewski]

Drobna uwaga: w dowodach zawsze zakładamy, że założenia są prawdziwe, więc wnioskowanie z fałszu nas nie martwi.

JK

[leszczu450]

Jan Kraszewski, a jak robimy dowody nie wprost to z nieprawdy mamy dojść do nieprawdy i wtedy to prawda. Ale podczas wielu dowodów długo szuką się tej nieprawdy i tkwi ona w szczegółach czasami

[Jan Kraszewski]

Jan Kraszewski, a jak robimy dowody nie wprost to z nieprawdy mamy dojść do nieprawdy i wtedy to prawda.

Brzmi filozoficznie, ale niezupełnie wiem, co dokładnie masz na myśli.

JK

[leszczu450]

Chodzi mi o to : \(\displaystyle{ p \Rightarrow q \Leftrightarrow \neg q \Rightarrow \neg p}\). Z nieprawdziwości następnika dochodze do nieprawdziwości poprzednika dzięki temu całe wyrażenie jest prawdziwe. Na tym polega dowód nie wprost. Czy gdzieś się mylę ?

[Jan Kraszewski]

Chodzi mi o to : \(\displaystyle{ p \Rightarrow q \Leftrightarrow \neg q \Rightarrow \neg p}\). Z nieprawdziwości następnika dochodze do nieprawdziwości poprzednika dzięki temu całe wyrażenie jest prawdziwe. Na tym polega dowód nie wprost. Czy gdzieś się mylę ?

Niezupełnie. To, co napisałeś, to w zasadzie nie jest dowód nie wprost, dowodzisz po prostu równoważnego twierdzenia. Dowód nie wprost polega na założeniu prawdziwości założenia i fałszywości tezy i dojściu do sprzeczności. Istotnie, w wielu dowodach nie wprost jest to sprzeczność z założeniem (ale nie we wszystkich). Wtedy wygodniej jest sformułować dowód jako dowód nie wprost niż pisać, że zamiast danego twierdzenia udowadniamy twierdzenie równoważne (na mocy prawa kontrapozycji).

JK

[leszczu450]

No ok : ) Ale jak dla mnie, póki co, to wszystkie dowody nie wprost polegają na dojściu do sprzeczności z założeniem/założeniami. : )

[Jan Kraszewski]

A dowód niewymierności \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) ?

JK

[leszczu450]

Dochodze do sprzecznośći z założeniem, że liczby miały być względnie pierwsze. To chyba też mogę traktować jako założenie.-- 17 sty 2013, o 02:00 --Jeśli liczbe \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jestem w stanie przedstawić w postaci nieskracalnego ułamka to jest ona liczbą wymierną.

[Jan Kraszewski]

Dochodze do sprzecznośći z założeniem, że liczby miały być względnie pierwsze. To chyba też mogę traktować jako założenie.

To nie jest założenie w sensie, o którym mówiliśmy, tylko pewne wewnątrzdowodowe założenie techniczne. Na starcie nie masz w zasadzie żadnego założenia, nie korzystasz też z prawa kontrapozycji.

JK