Specyficzne kwadratury

[chozz]

Jak wiadomo współczynniki kwadratur interpolacyjnych dla ustalonego n dane są wzorem:
\(\displaystyle{ A_{k} = \frac{1}{\omega'(x_{k})} \int_{a}^{b} \frac{\omega(x)}{x-x_{k}}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \omega(x) = (x-x_{0})(x-x_{1})\ldots(x-{x_n})}\).

Potrzebuję policzyć tą całkę z \(\displaystyle{ A_{k}}\), dla prostego przedziału [-1,1]. Jako jeden z przypadków dla węzłów potrzebuję rozpatrzeć zera wielomianu Czebyszewa. Oczywiście gdybym miał policzyć całkę z samego wielomianu Czebyszewa \(\displaystyle{ \omega(x)}\) to nie ma problemu (z dokładnością do przemnożenia przez współczynnik wiodący), ale tutaj wykluczam sobie jedno z zer.
Co w takim przypadku mogę zrobić? Jest jakiś łatwy sposób wyliczenia tego analitycznie, poza sprowadzaniem do postaci potęgowej?

[szw1710]

Z reguły współczynniki kwadratur oraz ich węzły wyznacza się w sposób przybliżony i nie ma większej potrzeby wyliczania dokładnego. Można to robić dla małych \(\displaystyle{ n}\). Co do zer wielomianu Czebyszewa, kwadratura z takimi węzłami dokładna w rodzinie wielomianów maksymalnego rzędu, jest tzw. kwadraturą Czebyszewa. Nie dla każdego \(\displaystyle{ n}\) ona istnieje, jedynie dla kilku małych wartości. Np. dla \(\displaystyle{ n=3}\) mamy

\(\displaystyle{ C_3(f)=\frac{2}{3}\left[f\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+f(0)+f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right]}\).

Współczynniki w kwadraturach Czebyszewa są zawsze równe. Szczegóły zobacz tu:

[chozz]

Ja rozumiem, że kwadratury Gaussa ogólnie są bardzo fajne, jednak moim zadaniem jest wyliczenie tego współczynnika \(\displaystyle{ A_{k}}\), który podałem wcześniej. Ogólniej sama całka to iloczyn węzłowy (zera Czebyszewa) bez jednego z węzłów. Kombinowałem jakoś analitycznie, ale żadnych rezultatów. No nic, dzięki.

[szw1710]

Są to całki z wielomianów podstawowych Lagrange'a. Może to jakoś pomoże, nakieruje. Jednak jawne obliczanie tych całek sprzeczne jest z duchem analizy numerycznej.

Wielomiany podstawowe Lagrange'a lub po angielsku Lagrange basis polynomials.

[chozz]

Udało mi się to znaleźć, jakby ktoś kiedyś potrzebował to googlować pod hasłem:

Integral formulas for Chebyshev polynomials and ther error term of interpolatory quadrature formulae for analytic functions.

[szw1710]

Notaris (autor tej pracy) jest znanym i uznanym specjalista w zakresie analizy numerycznej. Także czasopismo jest bardzo porządne.