zadania matura rozszerz kiełbasa

[adamos64]

1) Znajdź wszystkie takie pary liczb naturalnych że ich największy wspólny dzielnik wynosi 6, a ich najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa 210.
2) Wykaż że dla każdej liczby naturalnej n liczba \(\displaystyle{ n^5-n}\) jest podzielna przez 30.
3) Wykaż że jeśli p jest liczbą pierwszą większą od 3 to \(\displaystyle{ p^2-1}\) jest liczbą podzielną przez 24.
4) Wykaż że jeżeli liczba n jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych to liczba 5n również ma tę własność.
5) Wykaż że suma sześcianów dwóch różnych liczb dodatnich jest większa od iloczynu ich sumy i ich iloczynu.
6) Wykaż że dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b,c prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2 \ge ab+ac+bc}\).
7) Wykaż że jeśli x+y+z=0 to xy+yz+zx\(\displaystyle{ \le}\)0.

Dziękuje za odpowiedzi:)

[Greeh]

2) indukcyjnie lub wystarczy zauwazyc: \(\displaystyle{ n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1)}\)
\(\displaystyle{ (n-1)n(n+1)}\)- 3 kolejne liczby naturalne, wiec iloczyn podzielny przez 6
\(\displaystyle{ (n^2+1)}\) - podzielny przez 5
Razem \(\displaystyle{ n^5-n|30}\)

\(\displaystyle{ 5) \ a^3+b^3>(a+b)ab\\
(a+b)(a^2-ab+b^2)>(a+b)ab\\
a^2-ab+b^2>ab\\
(a-b)^2>0}\)

\(\displaystyle{ 6) \ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)\\
a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ac\\
2(a^2+b^2+c^2) \ge 2(ab+bc+ac) \\
2(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)\\
\frac{(a^2+b^2+c^2)}{3} \ge (a+b+c)^2 c.n.d}\)
pierwiastkujac stronami otrzymujesz>

[alchemik]

Zad. 1.
\(\displaystyle{ a=6x, \ b=6y, \ NWD(x,y)=1 \\ NWD(a,b) \cdot NWW(a,b)=ab \Leftrightarrow 6 \cdot 210= 6x \cdot 6y \Leftrightarrow xy=35: \\ \begin{cases} x=1 \\ y=35 \end{cases} \vee \begin{cases} x=5 \\ y=7 \end{cases} \vee \begin{cases} x=7 \\ y=5 \end{cases} \vee \begin{cases} x=35 \\ y=1 \end{cases} \Leftrightarrow \\ \begin{cases} a=6 \\ b=210 \end{cases} \vee \begin{cases} a=30 \\ b=42 \end{cases} \vee \begin{cases} a=42 \\ b=30 \end{cases} \vee \begin{cases} a=210 \\ b=6 \end{cases}}\)

Zad. 2.
\(\displaystyle{ n^{5}-n=(n-1)n(n+1)(n^2+1)}\)
Co z tego wynika?

Zad. 3.
\(\displaystyle{ p^{2}-1=(p-1)(p+1) \wedge 2 \nmid p \wedge 3 \nmid p \wedge 4 \nmid p}\)

Zad. 4.
\(\displaystyle{ x=a^{2}+b^{2} \Leftrightarrow 5x=5a^{2}+5b^{2}=(4a^{2}+2ab+b^{2})+(a^{2}-2ab+4b^{2})=(2a+b)^{2}+(2b-a)^{2}}\)

Zad. 5.
Jak wyzej, tylko Greeh mała litreówka u ciebie jest nie sześcianów.

Zad. 6.
Pomnóż obustronnie przez dwa i może w jakieś kwadraty da się zwinąć?

Zad. 7.
\(\displaystyle{ x+y+z=0 \Leftrightarrow (x+y+z)^{2}=0 \Leftrightarrow \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2}=-(xy+yz+zx) \\ \forall_{x,y,z \in R} \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2} \ge 0 \Rightarrow \forall_{x,y,z \in R} -(xy+yz+zx) \ge 0 \Leftrightarrow xy+yz+zx \le 0}\)

[adamos64]

Mógłby mi ktoś jeszcze raz wytlumaczyc pierwsze trzecie i siódme krok po kroku? bo nie rozumiem;/

[alchemik]

Zad. 3. Liczba p jest liczbą pierwszą większą niż 3, z tego wynika, że:
1) jest liczbą nieparzystą, czyli jest nie podzielna przez 2, a co z tego wynika także na pewno nie jest podzielna przez 4.
2) nie jest liczbą podzielną przez 3.

Teraz musisz wykorzystać pewną prawidłowość:
(*) Wśród n dowolonych kolejnych liczb naturalnych istnieje dokładnie jedna podzielna przez n.

Zatem weźmy cztery liczby : p-2, p-1, p, p+1. Ponieważ liczba p jest liczbą nieparzystą, to p-1 i p+1 są liczbami parzystymi, skoro tak jest to znaczy że obie są podzielne przez 2.
Teraz zgodnie z (*) Wśród 4 kolejnych liczb naturalnych (p-2, p-1, p, p+1) istnieje dokładnie jedna podzielna przez 4. Ponieważ wiemy że p-2 i p to liczb nieparzyste, zatem p-1 albo p+1 jest podzielne przez 4.

Zatem na razie reasumując mamy, że jedna z liczb p-1, p+1 jest podzielna przez 4, zatem iloczyn (p-1)(p+1) jest podzielny przez cztery, co wiecej, druga z tych liczb jest także podzielna przez 2, a więc powyższy iloczyn jest podzielny przez 8.

Teraz korzystając z (*) i z podzielną przez trzy, weźmy trzy liczby p-1, p, p+1.
Na pewno jest z nim jest podzielna przez 3 skoro nie jest to p to musi być któraś z pozostałych, A zatem (p-1)(p+1) jest podzielne przez 3, a biorąc całośc pod uwagę jest także podzielny przez 24.


Zadanie 7.
Ponieważ prawidłowa jest równośc:
\(\displaystyle{ x+y+z=0}\) to prawidłowa jest także równość (x+y+z)^{2}=0. Teraz rozwijam lewą stronę:
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2yz+2zx=0}\), przenoszę niektóre wyrazy na prawą stronę:
x\(\displaystyle{ ^{2}+y^{2}+z^{2}=-2(xy+yz+zx)}\). Prawdą jest że każda liczba podniesiona do kwadratu jest większą badź równa 0, a zatem tym bardziej \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2} \ge 0}\), ale ponieważ lewa strona tej nierówności jest równa \(\displaystyle{ -2(xy+yz+zx)}\) to: \(\displaystyle{ -2(xy+yz+zx) \ge 0}\) , dzieląc przez (-2) otrzymuje:
\(\displaystyle{ 0 \ge (xy+yz+zx)}\)

II sposób (jeżeli nie satysfakcjonuje cię ten pierwszy)
Zaczynami od nierówności z zadania szóstego, tzn.
Wiemy, że prawdą jest:
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2} \ge xy+yz+zx /+2(xy+yz+zx) \\ x^{2}+y^{2}+z^{2} +2(xy+yz+zx) \ge 3(xy+yz+zx) \\ (x+y+z)^{2} \ge 3(xy+yz+zx)}\)
Teraz korzystamy z tego, że \(\displaystyle{ x+y+z=0}\), a zatem \(\displaystyle{ (x+y+z)^{2}=0}\):

\(\displaystyle{ 0\ge 3(xy+yz+zx) \Leftrightarrow 0\ge xy+yz+zx}\)

[biolga]

W zad.4 :

(4a^{2}+2ab+b^{2})+(a^{2}-2ab+4b^{2})

Z czego to wynika?

[kaaatiaaa1801]

Dlaczego w zadaniu 6 jest podzielone przez 3?? nie powinno byc razy 3 ?

[radeklor]

Zadanie 1: Jeżeli liczby mają NWD = 6 to mozemy je zapisać tak jak alchemik zapisał powyżej, czyli:
\(\displaystyle{ a=6x
b=6y}\)
Następnie mamy wzór który mówi,że jeżeli mamy liczby a i b to \(\displaystyle{ a*b = NWD(a,b) * NWW(a,b)}\)
Stąd powstało \(\displaystyle{ NWD(a,b) \cdot NWW(a,b)=ab}\)
Rozwiązując to otrzymujemy pary tak jak zrobił to alchemik