Układ kongruencji.

[Fengson]

Witam.
Mam do rozwiązania układ. Wszystko byłoby dobrze, ale nie spotkałem się jeszcze z przykładem, w którym coś stoi przy x. Jak się za to zabrać?

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x = 4 \mod 8 \\ x = 2 \mod 6 \end{cases}}\)

[yorgin]

Jak coś stoi przy \(\displaystyle{ x}\), to robisz takie sztuczki, by zostało samo \(\displaystyle{ x}\). W Twoim przykładzie wystarczy podzielić przez \(\displaystyle{ 2}\).

[Fengson]

I co wtedy mam?
\(\displaystyle{ x = 2 \mod 8}\) i drugi bez zmian ? Czy \(\displaystyle{ x = 2 \mod 4}\) i drugi bez zmian? Nie wiem jak się zachowuje to modulo.

Przy okazji : jeśli mam \(\displaystyle{ x^2}\) to pewnie jeszcze inaczej?

[yorgin]

Przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 2}\) moduł nie zmienia się. Dostajesz \(\displaystyle{ x = 2 \mod 8}\). I to robisz tylko dla pierwszego równania. Bo niby po co zmieniać drugie?

Co do drugiego pytania - nie znam się na nieliniowych kongruencjach. W szczególności nie pomogę z kwadratami.

[Fengson]

Na pewno modulo się nie dzieli?
Wynik mi wyszedł \(\displaystyle{ 24t + 2}\) a Wolfram mówi \(\displaystyle{ 12t + 2}\) więc ewidentnie 2x mniej

[yorgin]

Hmm

\(\displaystyle{ 2x=4 \mod 8\\
2x-4 = 8k\\
x-2=4k\\
x=2\mod 4}\)

Zatem i modulo też się dzieli. Jednak przyznaję rację. A nie dzieliło się przy dodawaniu i mnożeniu - stąd moje błędne pierwotne spojrzenie.

[leszczu450]

Odkopuje temat bo robię to samo zadanie i mi w ogólnie wychodzi.

Po podzieleniu, mamy taki układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 2 (\mod 4)\\ x \equiv 2 (\mod 6) \end{cases}}\)

I teraz co dalej? Rozwiązać tego nie można bo moduły nie są względnie pierwsze. Jak to zmienic do postaci z której to wylicze?

Pozdrawiam!

[yorgin]

\(\displaystyle{ 6=2\cdot 3}\) więc

\(\displaystyle{ x\equiv 2 \mod 6 \iff (x\equiv 2\mod 2)\wedge (x\equiv 2\mod 3)}\)

[leszczu450]

yorgin, a pierwszą kongruencję mogę tak samo rozłożyć , na dwie dwójki w modułach?

[yorgin]

Nie można, gdyż moduły muszą być względnie pierwsze, a w tym przypadku będą przez siebie podzielne.

[leszczu450]

yorgin, dzięki wielkie!