badanie różniczkowalności funkcji

[hank]

Witam. Mam problem z tym zadaniem:
Zbadaj różniczkowalność funkcji f w punkcie x=0, gdzie
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} x ^{2} ; x \in Q \\ 0 ; x \in R \setminus Q \end{cases}}\)

[Qń]

Zauważ, że \(\displaystyle{ 0\le |f(h)|\le h^2}\), zatem licząc granicę z definicji pochodnej w zerze wystarczy zastosować twierdzenie o trzech funkcjach (ciągach).

Q.

[hank]

Czy ma to wyglądać następująco:
\(\displaystyle{ \lim_{ h\to 0 } \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h}
\newline
0 \le \frac{|f(h)|}{h} \le \frac{h ^{2} }{h}
\newline
0 \le \lim_{h \to 0} \frac{|f(x)|}{h} \le \lim_{h \to 0} h =0 \Rightarrow \lim_{h \to 0} \frac{|f(x)|}{h}=0}\)

[Qń]

Pomijając szczegóły - tak.

Mamy:
\(\displaystyle{ 0\le \left| \frac{f(h)}{h}\right| \le |h|}\)
Skrajne funkcje dążą do zera przy \(\displaystyle{ h\to 0}\), więc środkowa też, czyli:
\(\displaystyle{ \lim_{h\to 0 } \left| \frac{f(h)}{h}\right| = 0}\)
a więc także:
\(\displaystyle{ \lim_{h\to 0 } \frac{f(h)}{h} = 0}\)

Q.