Elementy maksymalne i minimalne w porządku częsciowym

[Czoczo]

Otóż treść mojego zadania to Niech \(\displaystyle{ X=\left\{ \left( x_0-r, x_0+r\right) \subset \RR : x_0 \in \RR, 0 \le r \le 2 \right\}}\) Dla \(\displaystyle{ A,B \in X}\),
\(\displaystyle{ A \le B \Leftrightarrow A \subset B}\). Wykaż, że to relacja częściowego porządku. Wyznacz elementy maksymalne, czy istnieją minimalne. Oczywiście sprawdziłem zwrotność, antysymetrię i przechodniość, mam jedynie problem z elementami maksymalnymi. Z góry dziękuję za pomoc

[Jan Kraszewski]

A masz jakieś pomysły?

JK

[Czoczo]

Szczerze mówiąc nie bardzo. Na ćwiczeniach robiliśmy to jedynie na relacjach podzielności i wtedy łatwo narysować sobie schemat i odczytać. Tutaj zupełnie nie wiem jak się za to zabrać

[Jan Kraszewski]

Zastanowić się, co oznacza maksymalność elementu w tym porządku, czyli zrozumieć definicję el. maksymalnego i zastosować w tym porządku.

Co to znaczy, że el. porządku jest maksymalny?

JK

[Czoczo]

to znaczy że jest on największy wśród elementów z nim porównywalnych.a- element maksymalny w X \(\displaystyle{ \forall x \in X a \le x \Rightarrow a=x}\)

[Jan Kraszewski]

Albo inaczej - nie ma od niego elementu większego. Od jakich przedziałów z Twojej rodziny nie ma większych (w tej rodzinie) w sensie zawierania?

JK

[Czoczo]

Elementem maksymalnym będzie \(\displaystyle{ \left( x_0-2, x_0+2\right)}\), a minimalnym \(\displaystyle{ \left( x_0,x_0\right)}\). Takie w każdym razie mam odczucie.

[Jan Kraszewski]

W zasadzie tak, ale:

1. ten minimalny mógłbyś nieco lepiej zapisać; ile jest elementów minimalnych?
2. trochę lepiej mógłbyś sformułować odpowiedź dotyczącą elementów maksymalnych (bo jest ich dużo...).

JK