Dziwna monotoniczność funkcji

szprot_w_oleju · Post autor: **szprot_w_oleju** » 14 sty 2013, o 16:23

Wykaż że funkcja dla x>0 jest rosnąca i wklęsła.

\(\displaystyle{ F(x)=\int_{0}^{x} \frac{e^{-t^{2}}}{t^{4}+1}dt}\)

yorgin · Post autor: **yorgin** » 14 sty 2013, o 17:10

Zapewne problem jest z policzeniem pochodnej:

\(\displaystyle{ F'(x)=\frac{e^{-x^2}}{x^4+1}}\)

Teraz monotoniczność i wklęsłość stają się łatwe...

szprot_w_oleju · Post autor: **szprot_w_oleju** » 14 sty 2013, o 17:50

To działa tylko jak granice całkowania są od 0 do x czy dla dowolnych granic?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 14 sty 2013, o 17:51

Rzuć okiem na ten temat:

https://www.matematyka.pl/321662.htm#p5034192

szprot_w_oleju · Post autor: **szprot_w_oleju** » 14 sty 2013, o 19:59

O.k. to już wiem a trzeba się przy przekształceniach powolywać na I tw. rachunku całkowego? Bo chyba coś tak robilismy ale nie jestem pewny.

yorgin · Post autor: **yorgin** » 14 sty 2013, o 20:31

Ja w tych przekształceniach powołuję się na podstawowe twierdzenie o całce oznaczonej (wartość całki to różnica pierwotnych na krańcach przedziału). Wykorzystywane jest ono zaraz na początku przekształceń.

Zauważ, że w zasadzie nie jest potrzebna znajomość funkcji pierwotnej, gdyż dzięki różniczkowaniu wraca ona do postaci funkcji podcałkowej.