Równania i nierówności logarytmiczne

[mmmaaamm]

Mam problem z zadaniami nie było mnie na tych zajęciach i nie potrafię zrozumieć metody obliczania tych zadań czy ktoś mógłby mnie nakierować jak to rozwiązać ?

a) \(\displaystyle{ 14^{x} + 14^{x+1} \ge 2^{x+1}+2^{x+3}+2^{x+4}+2^{x+6}}\)

b) \(\displaystyle{ \log _{ \frac{3}{5} } ( x^{3} +x^{2}-11x+20) \le \log _{ \frac{3}{5} }(8+2x- x^{2} )}\)

c) \(\displaystyle{ x^{1+\log _{ 17^{x} } } \le 17x}\)

[gromadaufo]

a) \(\displaystyle{ 14^{x} + 14^{x+1} \ge 2^{x+1}+2^{x+3}+2^{x+4}+2^{x+6}}\)

1. Wyciągamy co się da przed nawias:

\(\displaystyle{ 14^{x}(1+14) \ge 2^{x}(2+2^{3}+2^{4}+2^{6})}\)

\(\displaystyle{ 14^{x} \cdot 15 \ge 2^{x} \cdot 90}\)

\(\displaystyle{ 14^{x} \ge 2^{x} \cdot 6}\)

\(\displaystyle{ 7^{x} \cdot 2^{x} \ge 2^{x} \cdot 6}\) //możemy uprościć przez \(\displaystyle{ 2^{x}}\) gdyż jest to funkcja zawsze dodatnia

\(\displaystyle{ 7^{x} \ge 6}\)

2. Szukamy teraz takiego \(\displaystyle{ x}\), dla którego: \(\displaystyle{ 7^{x}=6}\):

\(\displaystyle{ 7^{x}=6 \Rightarrow x=\log _{7}6}\)

Czyli odpowiedź: \(\displaystyle{ x \ge \log _{7}6}\)

b) Poczytaj:

Ze względu na to, że funkcja logarytmiczna jest malejąca dla podstawy należącej do przedziału \(\displaystyle{ (0,1)}\), dlatego przy pozbywaniu się logarytmu z nierówności należy zmienić znak na przeciwny. Natomiast dla podstawy zawierającej się w \(\displaystyle{ (1,+ \infty)}\) zostawiamy znak taki, jaki był.

Pozdrawiam
gromadaufo.