Twierdzenie Steinera.

[klaudekk]

Poszukuję materiałów do opracowania twierdzenie Steinera:
Twierdzenie Steinera - twierdzenie planimetrii: Stosunek iloczynu odległości trójkąta od spodków prostych izogonalnych do iloczynu odległości innego wierzchołka od tych spodków jest równy stosunkowi kwadratów długości boków wychodzących z tego wierzchołka.

Proszę o pomoc.

[Oildale]

Co chcesz wiedzieć?

[klaudekk]

Najlepiej wszystko na temat tego Tw.
Mam dowód ale taki "suchy" a chce go zrozumieć.

[Oildale]

No to najprostszy dowód jest z tw. sinusów.
Weźmy sobie trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) oraz punkty \(\displaystyle{ D,E}\) na boku \(\displaystyle{ BC}\).
Z twierdzenia sinusów: \(\displaystyle{ AD/sinDBA=BD/sinBAD}\) oraz \(\displaystyle{ AD/sinDCA=DC/sinDAC}\) z tego mamy, że: \(\displaystyle{ sinBAD/sinDAC=BD \cdot sinDBA / DC \cdot sinDCA}\).
Analogiczne rozumowanie dla trójkątów \(\displaystyle{ ABE}\) i \(\displaystyle{ AEC}\) daje nam \(\displaystyle{ sinBAE/sinEAC=BE \cdot sinEBA / EC \cdot sinECA}\).
I teraz:
Proste \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ AE}\) są izogonalnie sprzężone \(\displaystyle{ \Leftrightarrow sinBAD/sinDAC=sinEAC/sinBAE}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow BD \cdot sinDBA/CD \cdot sinDCA = EC \cdot sinECA/BE \cdot sinEBA}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow BD/CD \cdot BE/EC = sinDCA/sinDBA \cdot sinECA/sinEBA = sin^{2}BCA/sin^{2}CBA}\)
Korzystając jeszcze raz z twierdzenia sinusów:
\(\displaystyle{ BD/CD \cdot BE/EC = sinDCA/sinDBA \cdot sinECA/sinEBA = sin^{2}BCA/sin^{2}CBA}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow BD/CD \cdot BE/EC = AB^{2}/AC^{2}}\).
To kończy dowód twierdzenia. Z tego twierdzenia wprost wynika twierdzenie o symedianie. Przydatność tego twierdzenia jest niewielka, ale warto znać. Mam nadzieje, że pomogłem.

[klaudekk]

/sin EBA to sinus konta EBA, tak?

[Oildale]

/sin EBA to sinus konta EBA, tak?

Tak \(\displaystyle{ sinEBA}\) to sinus kĄta \(\displaystyle{ EBA}\).