Całka oznaczona

[Nasiono]

Witam. Mam problem z jednym zadaniem. Mianowicie wychodzi mi chyba błedny wynik.

\(\displaystyle{ \int_{- \frac{1}{2}}^{0 } \frac{x }{x^2+3x+2}\; \text{d}x\\\\
\Delta=1\\
x_1=-2\\
x_2=-1\\\\
A=-1\\
B=1}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{-1}{x+2} \; \text{d}x + \int_{}^{} \frac{1}{x+1} \; \text{d}x=
-\ln |x+2| + \ln |x+1|\\
-\ln |0+2| + \ln |0+1| - \left(-\ln \left|- \frac{1}{2} +2\right| + \ln \left|- \frac{1}{2} +1\right| \right)= -\ln 2 + \ln 1 + \ln \frac{3}{2} - \ln \frac{1}{2}}\)

W odpowiedziach jest:
\(\displaystyle{ 2\ln 2 - 2\ln \frac{3}{2} +\ln \frac{1}{2}}\)

[epicka_nemesis]

\(\displaystyle{ \int_{- \frac{1}{2}}^{0 } \frac{x }{x^2+3x+2}\; \text{d}x}\)

Ta całka przez częsci - czyli poczodna z x będzie 1, może o tym zapomniałes - tak na pierwszy rzut oka.

[smallares25]

Masz błąd przy rozkładzie na ułamki proste.

\(\displaystyle{ A=2 \wedge B=-1}\)

\(\displaystyle{ \int_{- \frac{1}{2} }^{0} \frac{xdx}{\left( x+2\right) \cdot \left( x+1\right) }= \int_{- \frac{1}{2} }^{0} \frac{2dx}{\left( x+2\right) }- \int_{- \frac{1}{2} }^{0} \frac{1dx}{\left( x+1\right) } =}\)

\(\displaystyle{ = \left[ 2\ln\left( x+2\right) \right]^{0}_{- \frac{1}{2}}-\left[ \ln\left( x+1\right) \right]^{0}_{- \frac{1}{2} =}\)

\(\displaystyle{ =\left[ 2\ln2-2\ln \frac{3}{2} \right]-\left[ \ln1-\ln \frac{1}{2} \right] =}\)\(\displaystyle{ }\)

\(\displaystyle{ =2\ln2-2\ln \frac{3}{2}+\ln \frac{1}{2}}\)

I teraz wszystko się zgadza. Odpowiedź jest prawidłowa.

[Nasiono]

Dziękuje nie mogę jednak zorientować się gdzie robię ten błąd.

\(\displaystyle{ x1=-2\\
x2=-1}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{(x+2)(x+1)}= \frac{A}{x+2}+ \frac{B}{x+1}}\)


\(\displaystyle{ 1=A(x+1)+B(x+2)\\
1=Ax+A+Bx+2B}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}0=A+B \\ 1=A+2B \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}A=-B \\ 1=-B+2B \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}A=-1 \\ B=1 \end{cases}}\)-- 14 sty 2013, o 13:06 --Zadanie rozwiązane dziękuje i pozdrawiam.

[smallares25]

Zamiast \(\displaystyle{ 1}\) powinno być \(\displaystyle{ x}\) i wtedy wszystko będzie dobrze.

\(\displaystyle{ \frac{x}{\left( x+2\right) \cdot \left( x+1\right) }= \frac{A}{x+2}+ \frac{B}{x+1}\\ \\ x=A\left( x+2\right)+B\left( x+1\right)\\ \\ x=Ax+A+Bx+2B \\ \\ \begin{cases} 1=A+B \\ 0=A+2B \end{cases} \\ \begin{cases} A=1-B \\ 0=1-B+2B \end{cases} \\ \begin{cases} B=-1 \\ A=1-(-1)=2 \end{cases}}\)