Zbieżność ciągu funkcyjnego

[puryt]

Więc wszystko jest ok .
Nie chcę już wybrzydzać, ale Twoje rozwiązanie jest oparte na definicji ciągłości itp., nie dałoby rady zrobić takiego bez delt i epsilonów?

I mam takie pytanie bardziej chyba na intuicję niż wiedzę. Czy w treści zadania konieczny był eksponent, czy mogło być coś innego, w miare szybko malejącego?

I po co była wskazówka w takim razie ? Wg mnie po to, żeby zapisać sobie to w ten sposób: \(\displaystyle{ |f_{n}(x)-f(x)|= |\frac{n}{2} \int_{- \infty }^{ \infty }e^{-n|t|}f(x-t)dt-f(x)|=\\
|\frac{n}{2} \int_{- \infty }^{ \infty }e^{-n|t|}(f(x-t)-f(x))dt|}\)
i pokazać, że granica tego wyrażenia jest równa 0 dla każdego rzeczywistego x.

[Zordon]

Hmm, co sie dzieje przy przejściu od 1 do 2 linijki?
Jesli nawet udowodnisz, że to zbiega do 0 dla każdego x, to dalej nie bedziesz miał zbieżności jednostajnej. Podejrzewam, że bez epsilonów lub jakichś bardziej wyrafinowanych twierdzeń (których, przyznam się bez bicia, nie znam) nie da rady.

[puryt]

Mam jednak wrażenie, że jeśli \(\displaystyle{ |f_{n}(x)-f(x)| \le a_{n}\ i \lim_{ n\to \infty }a_{n}=0}\) to jest zbieżność jednostajna, czyli wystarczy, żeby moduł dążył do 0 niezależnie od x.
Jako, że pisze tu od kilku dni jeszcze nie opanowałem Latexa na tyle, żeby mi się chciało w nim tak dużo pisać: przejście polega na wciągnięciu f(x) pod znak całki do nawiasu,
bo \(\displaystyle{ f(x)=\frac{n}{2} \int_{ -\infty }^{ \infty }e^{-n|t|}f(x)dt}\), jakkolwiek miałoby to pomóc.

[Zordon]

Mam jednak wrażenie, że jeśli \(\displaystyle{ |f_{n}(x)-f(x)|\le a_{n}\ i \lim_{ n\to \infty }a_{n}=0}\)to jest zbieżność jednostajna, czyli jeśli ten moduł będzię dążył do 0 niezależnie od x.

oczywiście, jeśli szacujesz z góry tą różnicę ciagiem niezależnym od x, który zbiega do 0, to będzie zbieżność jednostajna, ale wcześniej zrozumiałem, że chodzi Ci o coś innego.

Jako, że pisze tu od kilku dnim jeszcze nie opanowałem Latexa na tyle, żeby mi się chciało w nim tak dużo pisać: przejście polega na wciągnięciu f(x) pod znak całki do nawiasu, jakkolwiek miałoby to pomóc.

a dlaczego tak po prostu można wciągnąć to f(x) ;>?

[puryt]

Już wyedytowałem mojego powyższego posta, faktycznie to nie było takie oczywiste, ale ja już spędziłem nad tym zadankiem trochę czasu, więc wszystkie moje 'osiągnięcia' znam na pamięć .

[Zordon]

nie uda się oszacować tej różnicy przez ciąg niezależny od x bez dodatkowych założeń, bo zdaje się, że ten ciąg funkcyjny nie jest zbieżny jednostajnie na całej prostej a tylko na przedziałach domkniętych... np. takich jakie są w poleceniu. Jeszcze pomyśle jak można się uporać z tym zadaniem bez epsilonów.

[fon_nojman]

Wracam do tych swoich bzdurek. Trochę się narobiło bałaganu to teraz trzeba wszystko uporządkować.

na tym właśnie polega zbieżność jednostajna , że próg dla epsilona jest dobry dla wszystkich x. Jak ustalisz x i dowodzisz zbieżności dla niego to masz tylko zbieżność punktową.

\(\displaystyle{ x}\) jest ustalone a \(\displaystyle{ s,n}\) zmienne.

No właśnie nie bardzo, całka jest w dalszym ciągu niewłaściwa (przecież to, że nie ma nieskończoności w granicach całkowania tego nie wyklucza; zauważ, że wyciągasz logarytm z 0). Po drugie podstawianie w całkach nieoznaczonych zawsze mnie trochę niepokoiło, bo nie zawsze można to robić... .

Całka jest jak najbardziej oznaczona jako całka z funkcji ciągłej zmiennej \(\displaystyle{ s\in (0,1/2]}\) (nieciągłość może być w \(\displaystyle{ s=0}\) ale może być skończona liczba punktów nieciągłości, nawet nieciągłość na zbiorze miary zero), ograniczonej i na odcinku \(\displaystyle{ [0,1/2]}\) (w zerze można sobie dowolnie określić albo zostawić po prostu przedział \(\displaystyle{ (0,1/2]}\)), czyli logarytm z zera nam nie przeszkadza.

Podstawienie jest ok bo dokonujemy je na całce oznaczonej \(\displaystyle{ \int_{0}^{A} e^{-n|t|}f(x-t)dt}\) później przechodzimy do granicy \(\displaystyle{ A\to \infty}\) i korzystamy z ciągłości funkcji \(\displaystyle{ \int_y^{\frac{1}{2}} f(x-\frac{\ln 2s}{n}) ds}\) zmiennej \(\displaystyle{ y}\).

Która funkcja? Przecież przy wchodzeniu z granicą pod całkę jest mowa o ciągu funkcji... Może źle się rozumiemy. Jak możesz to zacytuj odpowiednie twierdzenie, bo jest ich sporo, a ja większości nie znam.

funkcja f jest ciągła i ograniczona, czyli też wszystkie wyrazy ciągu są ciągłe względem \(\displaystyle{ s\in (0,1/2]}\) i ograniczone. Z konkretnym twierdzeniem z analizy matematycznej ok I rok będzie gorzej, ale można to wywnioskować z tw Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej (tam jest mowa o całce Lebesgue'a ale w naszym przypadku to pokryje się z naszą Riemanowską). Da się zrobić to tw dla całki Riemanna naśladując dowody odp tw (Lemat Fatou itp) na poziomie analizy I,II albo jest też na tym poziomie jakieś podobne tw ale go nie znam.

[puryt]

nie uda się oszacować tej różnicy przez ciąg niezależny od x bez dodatkowych założeń, bo zdaje się, że ten ciąg funkcyjny nie jest zbieżny jednostajnie na całej prostej a tylko na przedziałach domkniętych... np. takich jakie są w poleceniu.

Wg mnie to, że mamy pokazać jednostajną zbieżność na przedziale domkniętym, znaczy mniej więcej tyle, że 'problem' jest w nieskończoności, dlatego moja pierwsza myśł na egzaminie to było przerzucić jakimś podstawieniem x tam gdzie x dążący do nieskończoności stanowiłby problem i usnunięcie tego problemu przez wstawienie owego 'R' zamiast x.

x jest ustalone a s,n zmienne.

Tutaj popieram Zordona- co prawde w całce mamy dodatkową zmienną s (czy t przed podstawieniem), ale badanie zbieżności jednostajnej ciągu \(\displaystyle{ f_{n}(x)}\) polega na znalezieniu oszacowania dobrego dla każdego x. Jeśli znajdziemy dobre oszacowanie dla danego \(\displaystyle{ x_{0}}\) to mamy zbieżność punktową w tym konkretnym punkcie. Oszacowanie dla zbieżności jednostajnej musi być neizależne od x, więc x nie może być ustalony.

Co do dalszej części Twojej wypowiedzi, to o całce Lebesgue'a mam mgliste pojęcie, ale zadanie powinno się dać zrobić bez niej mimo wszystko.
A samo podstawienie jest raczej ok, z tym, że cały czas mam wątpliwości co do tego wejścia z granicą pod znak całki.

[Zordon]

Ok, po przemyśleniach zgadzam się z podstawieniem. Z tym, że można wejść z granicą pod całkę chyba też (zdaje się, że jest takie twierdzenie, że jeśli wszystkie funkcje ciągu są wspólnie ograniczone + cośtam jeszcze to można wejść z granicą pod całkę). Ale Twojego wyobrażenia zbieżności jednostajnej nie umiem zaakceptować
Przykład:
weźmy ciąg \(\displaystyle{ f_n(x)=x^n}\), \(\displaystyle{ f_n:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}}\)

taki ciąg jest zbieżny do funkcji \(\displaystyle{ f}\) takiej, że
\(\displaystyle{ f(1)=1}\) i \(\displaystyle{ f(x)=0}\) dla pozostałych \(\displaystyle{ x}\).

Ustalam x i z łatwością dowodzę, że \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } f_n(x)=f(x)}\)
ale przecież to jest tylko zbieżność punktowa, a nie jednostajna!

[fon_nojman]

Nie rozumiemy się. Funkcja u nas ma trzy zmienne x,s,n. Ustalając x mamy do dyspozycji s,n. Możemy badać teraz zbieżność jednostajną przy \(\displaystyle{ n\to \infty}\) względem s.

Dlaczego podałeś podałeś przykład z funkcją zależną tylko od x,n skoro zaznaczyłem, że chodzi mi o funkcję zależną od x,s,n?

Nie widzę tu nic skomplikowanego. Mogę ewentualnie podać jakieś przykłady dla rozjaśnienia sprawy.

[Zordon]

przecież s jest zmienną całkowania, jest związana całką. Więc jak chcesz ją zmieniać?

[fon_nojman]

Tak jak zwykłą zmienną. Zauważ, że chodziło tu o przejście z granicą pod znak całki a jeżeli mamy zbieżność jednostajną \(\displaystyle{ f_n(x)}\) to możemy przechodzić z granicą pod znak całki \(\displaystyle{ \int_a^b f_n(x)dx}\) - oczywiście odp granice muszą istnieć, bez zagłębiania się w założenia.

wchodzisz z granicą pod całkę, czy to jest tu na pewno uprawnione?

Znalazłem twierdzenie Arzeli, które uprawnia nas do tego.

[Zordon]

wchodzenie z granicą pod całkę, tak jak wyżej napisałem, jest OK. Ale chodzi mi to, ze jak ustalisz x nie będzie zbieżności jednostajnej.

[fon_nojman]

Może przypomnę do czego była mi potrzebna zbieżność jednostajna względem s przy \(\displaystyle{ n\to \infty}\) i ustalonym x:

wchodzisz z granicą pod całkę, czy to jest tu na pewno uprawnione?

Pewnie jest bo wychodzi teza Nie wiem jak to pokazać, myślałem nad zbieżnością jednostajną \(\displaystyle{ f(x-\frac{\ln 2s}{n}) \rightarrow f(x)}\) przy ustalonym \(\displaystyle{ x}\).

Chciałem przy jej pomocy wejść pod znak całki.

[Zordon]

ok super, to juz mamy za sobą, ale nie zrobiłeś zadania bo trzeba wykazać zbieżność jednostajną na przedziałach domknietych, a nie punktową.