siły zachowawcze

[lookasiu87]

mam takie oto zadanko sprawdzić czy siły są zachowawcze
1) \(\displaystyle{ F=(x^2 \cdot z,-yx,5)}\)
2) \(\displaystyle{ F=(-2x-yz,z-xz,y-xy)}\)
Będę wdzięczny za pomoc

[Amon-Ra]

Ze związku między energią potencjalną i siłą wynika:

\(\displaystyle{ \vec{F}=-\nabla E = ft[ -\frac{\partial E}{dx}, -\frac{\partial E}{dy}, -\frac{\partial E}{dz} \right]}\)

Jeżeli poszczególne składowe siły zróżniczkujemy odpowiednio po y, z, x, następnie odpowiednio po z, x, y, otrzymamy składowe wektora rotacji:

\(\displaystyle{ \frac{ ^2 F_x}{\partial y z}=-\frac{\partial ^3 E}{\partial x y z} \\ \frac{ ^2 F_y}{\partial x z}=-\frac{\partial ^3 E}{\partial x y z} \\ \frac{ ^2 F_z}{\partial x y}=-\frac{\partial ^3 E}{\partial x y z}}\)

Zauważ, że te trzy pochodne są sobie równe - stąd oblicz po prostu pochodne mieszane \(\displaystyle{ \frac{ ^2 F_x}{\partial y z}}\), \(\displaystyle{ \frac{ ^2 F_y}{\partial x z}}\) i \(\displaystyle{ \frac{ ^2 F_z}{\partial x y}}\) sprawdzając, czy otrzymane wartości będą sobie równe - jeżeli tak, siły są zachowawcze. Ze wstępnych rachunków wynika, że tak .

[lookasiu87]

heh...moze cos zle zrozumialem ale jakbym nie liczyl w pierwszym przypadku wychodzi mi ze sily nie sa zachowawcze a
Ze wstępnych rachunków wynika, że tak . nie rozumiem!!

[Amon-Ra]

Pochodne cząstkowe...

\(\displaystyle{ \frac{ ^2 F_x}{\partial y z}=\frac{\partial^2}{\partial y z}(x^2 z)=\frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial}{\partial z}(x^2 z)\right) =\frac{\partial}{\partial y}(x^2)=0 \\ \frac{ ^2 F_y}{\partial x z}=\frac{\partial^2}{\partial x z}(-yx)=\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial}{\partial z}(-yx) \right) =\frac{\partial}{\partial x}(0)=0 \\ \frac{ ^2 F_z}{\partial x y}=\frac{\partial^2}{\partial x y}(5)=0}\)

... są sobie równe. W drugim przypadku także.

[lookasiu87]

sereczne dzieki teraz to jest bardzo proste

[kal0]

Witam.
Gdy już sprawdzimy, czy siły są zachowawcze, to jak obliczyć energię potencjalną w tym polu sił?

[AiDi]

A jaka jest definicja energii potencjalnej?

[lechero]

Witam, mógłby ktoś wyjaśnić jak obliczyć energie potencjalną gdy już sprawdzimy czy dana siła/pole sił jest zachowawcze ?
Z góry dziękuje.

[AiDi]

Odcałkować. Np. pierwszą składową siły po x, pamiętając przy tym, że 'stała całkowania' nie musi być stałą, a w ogólności jest funkcją od y i z.

[lechero]

Gdy odcałkujemy pierwszą składową po x, druga po y a trzecią po z wyjdą nam 3 wyniki a nie powinien być jeden ?

[panklucznik]

Błagam, niech ktoś zdejmie stąd ten bełkot, bo mi studenci tak "sprawdzają potencjalność" siły :/

[rafmat24]

panklucznik, nie dość, że koło zdane, to jeszcze można się na forum pośmiać

[AiDi]

Czemu bełkot?

[rafmat24]

AiDi, user panklucznik miał na myśli, że nieco przekombinowywania jest w takim sprawdzaniu potencjalności pola, gdy wystarczy policzyć zwykłą rotację pola wektorowego

[panklucznik]

AiDi, user panklucznik miał na myśli, że nieco przekombinowywania jest w takim sprawdzaniu potencjalności pola, gdy wystarczy policzyć zwykłą rotację pola wektorowego

Niestety nie do końca to miałem na myśli, bo opisane wyżej procedury nie mają nic wspólnego ze sprawdzaniem potencjalności pola. Drugie pochodne nazwano tam składowymi rotacji, którymi nie są. Ich równość nie jest też nijak równoważna zachowawczości pola. Jedyne czego można tak dowieść, to chyba to, że energia potencjalna (gdyby istniała, a nie wiemy - bo nie sprawdzono pot. pola) byłaby gładka.

A wisi to na 1. miejscu w google pod zapytaniem "jak sprawdzić czy pole jest zachowawcze" i trafiłem tutaj sprawdzając z kolegą "skąd Ci studenci to wzięli?! Pewnie w internecie gdzieś wisi."

Podaję kontrprzykład \(\displaystyle{ {\bf{F}}=(y,y,z)}\).