Moc zbioru wszystkich ciągów

[addmir]

Jaka jest moc zbioru:
a) wszystkich ciągów liczb rzeczywistych zbieżnych do zera?
b) wszystkich ciągów liczb całkowitych zbieżnych do zera?

Ad b) Taka obserwacja: wiadomo, że od pewnego miejsca każdy ciąg będzie stały i równy zero. Tylko nie wiem jak to dalej wykorzystać?

A za a) to w ogóle nie wiem jak zabrać

[Althorion]

W b) oznacza to, że masz skończenie wiele miejsc do wypełnienia przeliczalnie wieloma liczbami, tak więc będzie tych ciągów przeliczalnie wiele.

W a) bym intuicyjnie powiedział że \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\), ale nie umiem tego wykazać (tylko że przynajmniej tyle ich musi być).

[Spektralny]

a) rozważ wszystkie ciągi rzeczywiste; na każdej współrzędnej masz \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\) możliwości, a więc moc zbioru wszystkich ciągów to

\(\displaystyle{ \mathfrak{c}^{\aleph_0} = (2^{\aleph_0})^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0\cdot \aleph_0} = 2^{\aleph_0} = \mathfrak{c}}\)

ciągów zbieżnych do zera jest co najmniej \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\), a więc jest dokładnie \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\).

b) ciąg liczb całkowitych jest zbieżny do 0, gdy jest stały od pewnego miejsca.

[addmir]

ciągów zbieżnych do zera jest co najmniej \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\)

Dlaczego?

[Spektralny]

\(\displaystyle{ (x, 0, 0, 0, 0, 0, \ldots)}\) przy czym \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R}}\) jest dowolne.

[addmir]

Dziękuję za pomoc