calka funkcji wymiernej

[czarnq]

\(\displaystyle{ \int\,\frac{2x\,+\,1}{(x^{2}+1)^2}dx}\) mozna to rozlozyc na dwie calki. Druga calka wyglada tak \(\displaystyle{ \int\,\frac{dx}{(x^{2}+1)^{2}}}\) moze ktos mi dac jakies konkretne wskazowki jak to roziwazac? moze jakis sposob wedlug ktorego bedzie szybciej

[abrasax]

być może podstawienie x=tgt rozwiąże problem.
Dla dowolnej potęgi można skorzystać ze wzoru rekurencyjnego
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(1+x^2)^{n+1}}=\frac{x}{2n(1+x^2)^n}+\frac{2n-1}{2n} \int \frac{dx}{(1+x^2)^n}}\)
Co do wyprowadzenia tego wzoru: należy skorzystać z metody przez części dla całki \(\displaystyle{ \int (1+x^2)^{-n}dx}\) a następnie rozwiązać otrzymane równanie