Macierz fundamentalna

[Marvin1990]

Cześć,
przede wszystkim chciałem powitać wszystkich użytkowników, ja dopiero dołączyłem do forum.
Więc tak, muszę nauczyć się znajdowania macierzy fudamentalnych podanych układów, nie udało mi się znaleźć w książkach którymi dysponuję ani nawet w internecie żadnych przykładów z rozwiązaniami. Posiadam jedynie teorie. Moja proźba jest taka aby Ktoś sprawdził zrobione przezemnie zadanie, skomentował je i powiedziaj czy moja metodyka rozwiązywania tego typu zadań jest prawidłowa.

Znależć macierz fundamentalną postaci \(\displaystyle{ e^{tA}}\) układu:


\(\displaystyle{ \begin{cases} y' _{1}=4y _{1}+y _{2} \\y' _{2}=-2y _{1}+y _{2}\end{cases}}\)


1) Szukamy własności własnych

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}4&1\\-2&1\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ det(A-\lambda I)=\left|\begin{array}{ccc}4-\lambda&1\\-2&1-\lambda\end{array}\right| =0}\)

stąd \(\displaystyle{ (4-\lambda)(1-\lambda)+2=0}\)

więc \(\displaystyle{ \lambda_{1}=2,\ \lambda_{2}=3}\)

Dla \(\displaystyle{ \lambda_{1}=2}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}4-2&1\\-2&1-2\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc} x_{1}\\ x_{2} \end{array}\right]=0}\) dalej \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&1\\-2&-1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc} x_{1}\\ x_{2} \end{array}\right]=0}\) stąd \(\displaystyle{ x_{1}=-2 x_{2}}\), jest zależne liniowo.

Zatem \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} x_{1} \\ -2x_{1} \end{array}\right]= x_{1}\left[\begin{array}{ccc} 1 \\ -2 \end{array}\right]}\). Otrzymujemy \(\displaystyle{ W_{1}=\left[\begin{array}{ccc} 1 \\ -2 \end{array}\right]}\).

Podbnie dla \(\displaystyle{ \lambda_{2}=3}\). Otrzymujemy \(\displaystyle{ W_{2}=\left[\begin{array}{ccc} -1 \\ 1 \end{array}\right]}\).

Mamy wektory własne \(\displaystyle{ W_{1}=\left[\begin{array}{ccc} 1 \\ -2 \end{array}\right]}\) i \(\displaystyle{ W_{2}=\left[\begin{array}{ccc} -1 \\ 1 \end{array}\right]}\).

2) Macierz A posiada dwa różne wektory własne, czyli jest diagonalizowalna. Rozwiązanie ma postać:\(\displaystyle{ e^{tA}=P e^{\lambda A} P^{-1}}\).

Gdzie \(\displaystyle{ P=(W _{1}, W_{2}) = \left[\begin{array}{ccc}1&-1\\-2&1\end{array}\right]}\).

Obliczamy \(\displaystyle{ P^{-1}}\):

\(\displaystyle{ det(P)=\left|\begin{array}{ccc}1&-1\\-2&1\end{array}\right|=1-2=-1}\)

\(\displaystyle{ P^{D}=\left[\begin{array}{ccc}1&2\\1&1\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ (P^{D}) ^{T}=\left[\begin{array}{ccc}1&1\\2&1\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ P^{-1}= \frac{1}{det(P)}(P^{D}) ^{T}= \frac{1}{-1} \left[\begin{array}{ccc}1&1\\2&1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-1&-1\\-2&-1\end{array}\right]}\).

3) Obliczamy macierz fundamentalną z wzoru \(\displaystyle{ e^{tA}=P e^{\lambda A} P^{-1}}\).

Gdzie \(\displaystyle{ e^{\lambda A}= \left[\begin{array}{ccc}e ^{t \lambda _{1} } &0\\0&e ^{t \lambda _{2} }\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}e ^{2t} &0\\0&e ^{3t}\end{array}\right]}\).

\(\displaystyle{ e^{t A}= \left[\begin{array}{ccc}1&-1\\-2&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}e ^{2t} &0\\0&e ^{3t}\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}-1&-1\\-2&-1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}e ^{2t} &e ^{3t}\\-2e ^{2t}&e ^{3t}\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}-1&-1\\-2&-1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-e ^{2t}-2e ^{3t} &-e ^{2t}-e ^{3t}\\2e ^{2t}-2e ^{3t}&2e ^{2t}-e ^{3t}\end{array}\right]}\).

\(\displaystyle{ X(t)= \left[\begin{array}{ccc}-e ^{2t}-2e ^{3t} &-e ^{2t}-e ^{3t}\\2e ^{2t}-2e ^{3t}&2e ^{2t}-e ^{3t}\end{array}\right]}\).

Czy to jest dobrze
Dziękuję za poświęcony czas i liczę na odpowiedź -- 4 sty 2013, o 20:12 --Szczerze przyznam, że trochę więcej oczekiwałem po tym forum. A tu nic, żadnej odpowiedzi na moje pytanie. Rozumiem, że to nie jest łatwe. Trudno, sam sobie poradzę.

[yorgin]

\(\displaystyle{ e^{t A}= \left[\begin{array}{ccc}1&-1\\-2&1\end{array}\right]
\left[\begin{array}{ccc}e ^{2t} &0\\0&e ^{3t}\end{array}\right]
\left[\begin{array}{ccc}-1&-1\\-2&-1\end{array}\right] =
\left[\begin{array}{ccc}e ^{2t} &e ^{3t}\\-2e ^{2t}&e ^{3t}\end{array}\right]
\left[\begin{array}{ccc}-1&-1\\-2&-1\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{ccc}-e ^{2t}-2e ^{3t} &-e ^{2t}-e ^{3t}\\2e ^{2t}-2e ^{3t}&2e ^{2t}-e ^{3t}\end{array}\right]}\).

Przy mnożeniu pierwszych dwóch macierzy wynik w pierwszym wierszu i drugiej kolumnie to \(\displaystyle{ 1\cdot 0+(-1)\cdot e^{3t}=-e^{3t}}\). A więc i ostatnie mnożenie będzie trochę innej postaci. Poza tym wszystko jest dobrze!

Szczerze przyznam, że trochę więcej oczekiwałem po tym forum. A tu nic, żadnej odpowiedzi na moje pytanie. Rozumiem, że to nie jest łatwe. Trudno, sam sobie poradzę.

Cóż, nie zawsze należy się spodziewać, że ktoś znający się na układach równań różniczkowych będzie akurat czytał właściwe forum. Albo znał odpowiedz.

[Marvin1990]

Dziękuję za poprzednią pomoc i zwracam honory.
Ale mam jeszcze jedno pytanie. Po prostu chcę się tego nauczyć, nie jest to zadanie domowe ani nic takiego.
Mamy układ

\(\displaystyle{ \begin{cases} x'=y+12x \\ y'=x+3y \end{cases}}\)

zamieniam odpowiednio i tworzę macierz

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}12&1\\1&2\end{array}\right]}\)

następnie

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}12-\Lambda&1\\1&3-\Lambda\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}12-\Lambda&1\\1&3-\Lambda\end{array}\right|=0}\)

Prubuję wyznaczyć lambdy

\(\displaystyle{ (12-\Lambda)(3-\Lambda)-1=0}\)

Niestety \(\displaystyle{ \Delta =85}\), co oznacza, że dalsze rachunki będą szalenie skomplikowane, końcowa macierz ledwo mi się mieści na kartce.
Czy to ma tak wyglądać? Bo wydaje mi się że źle zapisuję macierz \(\displaystyle{ A}\).
Podobno delta powinna wyjść 144 ale nie wiem jak ktoś do tego doszedł.

[yorgin]

Policzyłem i wychodzi mi tak samo. \(\displaystyle{ \Delta=85}\).

Nawet nie wiem, jak dostać można te \(\displaystyle{ 144\ldots}\) Na pewno tak ma wyjść? Może przykład jest błędnie rozwiązany w źródle albo podany inny w stosunku do rzekomego rozwiązania?

[Marvin1990]

Raz jeszcze dziekuję. Czy zna ktoś może tytuły książek albo strony w internecie z przykładami tego typu zadań?