Całka oznaczona

[kiler69]

Witam. Chciałbym wiedzieć czy dobrze liczę taką całkę:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{-1} \frac{x}{ \sqrt{5-4x} } dx}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{x}{ \sqrt{5-4x} } dx}\)
Czy to podstawienie jest dobre?
\(\displaystyle{ t = 5-4x}\)

\(\displaystyle{ dt = -4dx}\)

\(\displaystyle{ \frac{dt}{-4} = dx}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{t-5}{-4}}\)

I końcowy wynik całki oznaczonej wyszedł mi:
\(\displaystyle{ \frac{5}{16}\ln{3} - \frac{13}{12}}\)

[MichalPWr]

kiler69, No niestety źle. Pokaż jak liczysz.

[kiler69]

A samo podstawienie jest dobre? Jeśli nie to moje obliczenia są mało istotne.
\(\displaystyle{ \int \frac{ \frac{t-5}{-4} }{ \sqrt{t} } \frac{dt}{-4} = \frac{1}{16} \int \frac{t-5}{ \sqrt{t} }dt = \frac{1}{16} \left( \int \sqrt{t}dt - 5 \int \frac{1}{ \sqrt{t} }dt \right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{16} \left( \frac{2}{3} t ^{ \frac{3}{2} } -5\ln\left| \sqrt{t} \right| \right) + C}\)

[MichalPWr]

\(\displaystyle{ \int \frac{x}{ \sqrt{5-4x} } dx =\begin{vmatrix}5-4x=t \Rightarrow x=-\frac{dt}{4}\left( t-5\right) \\-4 dx = dt \\dx= -\frac{dt}{4} \end{vmatrix}= \frac{1}{16} \int \frac{t-5}{ \sqrt{t} }dt=}\)

\(\displaystyle{ =\frac{1}{16} \int t ^{ \frac{1}{2} }-\frac{5}{16} \int t^{-\frac{1}{2}}dt= \frac{t \sqrt{t} }{24}- \frac{ 5\sqrt{t} }{8}=\frac{ \sqrt{t} }{8} \cdot \left( \frac{t}{3}-5 \right)=\frac{ \sqrt{5-4x} }{8} \cdot \left( \frac{5-4x}{3}-5 \right)=}\)

\(\displaystyle{ =\frac{ \sqrt{5-4x} }{8} \cdot \left( -\frac{10}{3}- \frac{4x}{3} \right)=-\frac{ \sqrt{5-4x} }{12} \cdot\left( 2x+5\right)+C}\)