Proszę o pomoc w rozwiązaniu tej całki:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} x ^{3} (x ^{2} -1) ^{7} dx}\)
Z góry dzięki
Całka nieoznaczona
-
mlody3k
- Użytkownik
- Posty: 79
- Rejestracja: 1 mar 2012, o 01:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 3city
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 24 razy
Całka nieoznaczona
Pomysł może niezbyt konstruktywny, ale na pewno skuteczny:
\(\displaystyle{ \int x^3(x^2-1)^7dx=\int x^3(x^{14}-7x^{12}+21x^{10}-35x^{8}+35x^6-21x^4+7x^2-1)dx=\\=\int (x^{17}-7x^{15}+21x^{13}-35x^{11}+35x^{9}-21x^{7}+7x^{5}-x^3) dx}\)
dalej wiadomo
\(\displaystyle{ \int x^3(x^2-1)^7dx=\int x^3(x^{14}-7x^{12}+21x^{10}-35x^{8}+35x^6-21x^4+7x^2-1)dx=\\=\int (x^{17}-7x^{15}+21x^{13}-35x^{11}+35x^{9}-21x^{7}+7x^{5}-x^3) dx}\)
dalej wiadomo
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6953
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1254 razy
Całka nieoznaczona
\(\displaystyle{ \int{x^3\left( x^2-1\right)^{7} \mbox{d}x }=\\
\int{x \cdot x^2 \cdot \left( x^2-1\right)^{7} \mbox{d}x }=\\
\int{x\left( \left( x^2-1\right)^8+\left( x^2-1\right)^7 \right) \mbox{d}x}\\
t=x^2-1\\
\mbox{d}t=2x \mbox{d}x \\
x \mbox{d}x = \frac{ \mbox{d}t}{2}\\
\frac{1}{2}\int{\left( t^8+t^7\right) \mbox{d}t}}\)
\int{x \cdot x^2 \cdot \left( x^2-1\right)^{7} \mbox{d}x }=\\
\int{x\left( \left( x^2-1\right)^8+\left( x^2-1\right)^7 \right) \mbox{d}x}\\
t=x^2-1\\
\mbox{d}t=2x \mbox{d}x \\
x \mbox{d}x = \frac{ \mbox{d}t}{2}\\
\frac{1}{2}\int{\left( t^8+t^7\right) \mbox{d}t}}\)
-
marrrcin
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 17 maja 2011, o 12:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kujawsko-Pomorskie
- Podziękował: 5 razy
Całka nieoznaczona
A mógłbyś sprzedać pomysł jak wpaść na coś tak cwanego? To przekształcenie to mistrzostwo.mariuszm pisze:\(\displaystyle{ \int{x^3\left( x^2-1\right)^{7} \mbox{d}x }=\\
\int{x \cdot x^2 \cdot \left( x^2-1\right)^{7} \mbox{d}x }=\\
\int{x\left( \left( x^2-1\right)^8+\left( x^2-1\right)^7 \right) \mbox{d}x}\\
t=x^2-1\\
\mbox{d}t=2x \mbox{d}x \\
x \mbox{d}x = \frac{ \mbox{d}t}{2}\\
\frac{1}{2}\int{\left( t^8+t^7\right) \mbox{d}t}}\)
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6953
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1254 razy
Całka nieoznaczona
Patrząc na funkcję podcałkową widzimy że pochodną tego co w nawiasie jest
\(\displaystyle{ 2x}\) wiemy też że \(\displaystyle{ x^3}\) możemy przedstawić jako iloczyn
\(\displaystyle{ x \cdot x^2}\) ponieważ w nawiasie jest \(\displaystyle{ x^2-1}\) więc przedstawiamy
\(\displaystyle{ x^2}\) jako \(\displaystyle{ x^2-1+1}\)
Liczenie symboli Newtona trochę by zajęło (zwłaszcza gdybyśmy mieli większy wykładnik)
a tak dzieki prostym obserwacjom możemy policzyć tę całkę w pamięci
Tutaj podstawienie się udało bo jednym z czynników była pochodna tego co w nawiasie
(z dokładnością do stałej)
Gdybyśmy nie mieli tego czynnika to skorzystanie z dwumianu Newtona to byłby dobry pomysł
Można też całkować przez części
(kiedyś bawiłem się liczeniem przez części podobnych całek znalezionych w zbiorze Krysickiego)
\(\displaystyle{ 2x}\) wiemy też że \(\displaystyle{ x^3}\) możemy przedstawić jako iloczyn
\(\displaystyle{ x \cdot x^2}\) ponieważ w nawiasie jest \(\displaystyle{ x^2-1}\) więc przedstawiamy
\(\displaystyle{ x^2}\) jako \(\displaystyle{ x^2-1+1}\)
Liczenie symboli Newtona trochę by zajęło (zwłaszcza gdybyśmy mieli większy wykładnik)
a tak dzieki prostym obserwacjom możemy policzyć tę całkę w pamięci
Tutaj podstawienie się udało bo jednym z czynników była pochodna tego co w nawiasie
(z dokładnością do stałej)
Gdybyśmy nie mieli tego czynnika to skorzystanie z dwumianu Newtona to byłby dobry pomysł
Można też całkować przez części
(kiedyś bawiłem się liczeniem przez części podobnych całek znalezionych w zbiorze Krysickiego)