Zależność między uogólnionymi sumami oraz między zbiorami

[Czoczo]

Otóż mam problem z dwoma zadaniami. Bardzo proszę o pomoc w ich rozwiązaniu i z góry dziękuję;)
zad.1 Zbadaj zależność między \(\displaystyle{ \bigcup A \cap \bigcup B}\) i \(\displaystyle{ \bigcup (A \cap B)}\)
zad. 2 Zbadaj zależność między zbiorami \(\displaystyle{ f(A \cap f^{-1}(B))}\) i \(\displaystyle{ f(A) \cap B}\) gdzie \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\) oraz \(\displaystyle{ A \subset X}\) i \(\displaystyle{ B \subset Y}\)

[yorgin]

Zadanie 1. rozpisujesz na elementach tych zbiorów.

Dla lewej strony:
\(\displaystyle{ x\in L\Longleftrightarrow x\in \bigcup A \wedge x\in\bigcup B \Longleftrightarrow
(\exists_a: x\in a\in A) \wedge (\exists_a: x\in a \in B)}\)
Dla prawej strony analogicznie wychodzi:
\(\displaystyle{ \exists_a: (x\in A\wedge x\in B)}\)
I teraz pytanie do Ciebie: jakie prawo kwantyfikatorów gwarantuje jakie implikacje? Podpowiem, że jest tylko jedna implikacja, druga jest fałszywa. A więc będzie tylko jedno zawieranie, na drugie poszukaj kontrprzykładu.

Zadanie 2. Tu zachodzi równość zbiorów. Jedno z zawierań wynika wprost z własności obrazu iloczynu zbiorów:
\(\displaystyle{ f(A\cap f^{-1}(B))\subset f(A)\cap f(f^{-1}(B))\subset f(A)\cap B}\)
Natomiast drugie zawieranie proponuję rozpisać wprost z definicji na elementach.

[Czoczo]

Wydaje mi się, że implikacja musi zachodzić z :
zad. 1. z prawej strony do lewej. Tak zdaje się wynika z praw rachunku kwantyfikatorów. Za nic nie potrafię jednak znaleźć kontrprzykładu w drugą stronę. :/
zad. 2. Z def.
Biorę \(\displaystyle{ y\in f(A) \cap B \Leftrightarrow y\in f(A) \wedge y\in B \Leftrightarrow y\in B \wedge \exists x x\in A \wedge y=f(x)}\) coś mi się tutaj zacina.

[yorgin]

Podaję jeden z wielu kontrprzykładów:

\(\displaystyle{ A=\{\mathbb{N}\}, B=\{\mathbb{Z}\}}\)

Natomiast na pomoc w drugim musisz poczekać do jutra.-- 7 stycznia 2013, 10:13 --\(\displaystyle{ y\in f(A\cap f^{-1}(B))\Longleftrightarrow\\
\exists x\ x\in A\cap f^{-1}(B) \wedge y=f(x)\Longleftrightarrow\\
\exists x\ x\in A\wedge x\in f^{-1}(B)\wedge y=f(x)\Longleftrightarrow\\
\exists x\ x\in A\wedge f(x)=y \wedge y\in B\Longleftrightarrow\\
y\in B \wedge \exists x\in A: f(x)=y\Longleftrightarrow\\
y\in f(A)\cap B}\)

Mam wielką nadzieję, że nie ma tu żadnego błędu. W zasadzie lepiej to rozumowanie sledzić od dołu do góry, wydaje mi się łatwiejsze do zrozumienia.