[Równania] Wyznaczyć wszystkie możliwe wartości sumy

[Spokojny_]

\(\displaystyle{ x,y,z\in\mathbb{R}}\)
Wyznaczyć wszystkie możliwe wartości sumy \(\displaystyle{ x+y+z}\), gdy
\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}
y=x^2-2\\
z=y^2-2\\
x=z^2-2
\end{matrix}\right.}\).

Proszę o jakąś podpowiedź.
Pozdrawiam.

[Ser Cubus]

wstaw np \(\displaystyle{ x^2-2}\)na y do drugiego równania i masz układ 2 równań z 2 niewiadomymi

[Spokojny_]

No, mogę nawet to zredukować do jednego równania:
\(\displaystyle{ x^8-8x^6-12x^4-16x^2-x+2=0}\) (chyba się nie pomyliłem )
ale jest wyjątkowo nieładne.

Niewiele mi jednak to daje w kwestii poszukiwania sumy.

[Ser Cubus]

jak to niewiele? jak wyliczysz x to wyliczysz y, jak wyliczysz y to dostaniesz z

hmm, sprawdź może rachunki albo szukaj wzorów skróconego mnożenia/grupuj

[Spokojny_]

Nie ma możliwości, żeby wyszło coś innego stopnia niż 8, więc raczej wyznaczanie x to kiepski pomysł. Poza tym samo polecenie sugeruje, że raczej trzeba szukać czegoś sprytniejszego.

[mol_ksiazkowy]

Proszę o jakąś podpowiedź.

gdy \(\displaystyle{ x=2cos(t)}\) to \(\displaystyle{ y=2cos(2t)}\)
etc

[Sylwek]

Można też rozkładać wielomian 8. stopnia i wyciągnąć odpowiednie wnioski (chociaż nie wiem, na ile to można uogólnić, być może tylko przypadkowo można go dość ładnie rozłożyć).

Powyższy sposób jest bardzo ładny, chociaż, co dziwne, aby doliczyć szczegóły, trzeba w nim poświęcić więcej czasu niż w poniższym rozwiązaniu. Na przykład, używając powyższego podstawienia trygonometrycznego, trzeba w pewnym momencie policzyć \(\displaystyle{ \cos \left( \frac{2\pi}{7} \right) + \cos \left( \frac{4\pi}{7} \right) + \cos \left( \frac{8\pi}{7} \right)}\), co bez elementarnej znajomości liczb zespolonych (wynik tego dodawania to \(\displaystyle{ -0.5}\)) może być dość uciążliwe (lub wymagać znajomości trikowych tożsamości trygonometrycznych, a może po prostu nie zauważam prostego sposobu ).

Hint 1:    

Zauważmy, że \(\displaystyle{ x,y,z}\) są pierwiastkami równania
\(\displaystyle{ a^8 - 8a^6 + 20a^4 - 16a^2 - a + 2 = 0}\),
innymi słowy \(\displaystyle{ (a-2)(a+1)(a^3-3a+1)(a^3+a^2-2a-1)=0}\).

Hint 2:    

To równanie ma 8 pierwiastków rzeczywistych. Te pierwiastki są różne. Jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest pierwiastkiem tego równania, to jednoznacznie nam to koduje trójkę \(\displaystyle{ (x,y,z)}\), zatem jest 8 możliwych rozwiązań.

Hint 3:    

Można jeszcze zauważyć, że
\(\displaystyle{ S=x+y+z=x+x^2-2+(x^2-2)^2-2 = x^4 - 3x^2 + x=x(x^3-3x+1)}\). Mając ten \(\displaystyle{ x^3-3x+1}\) i znając treść, mogliśmy strzelać istnienie czynnika \(\displaystyle{ a^3-3a+1}\) w rozkładzie naszego wielomianu 8. stopnia.

Hint 4:    

Co daje nam \(\displaystyle{ S_1=6, S_2=-3, S_3=S_4=S_5=0}\), ponadto...

Hint 5:    

...jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest pierwiastkiem ostatniego nawiasu, to: \(\displaystyle{ x^3+x^2-2x-1=0}\), zatem też \(\displaystyle{ x^4+x^3-2x^2-x=0}\). Odejmując od drugiego pierwsze dostajemy \(\displaystyle{ S+1=0}\), stąd \(\displaystyle{ S_6=S_7=S_8=-1}\).