Mamy taką całkę:
\(\displaystyle{ \int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \int \frac{a^2 - x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = a^2 \cdot \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} - \int \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}}}\)
W szczególności interesuje mnie druga całka z różnicy:
\(\displaystyle{ \int \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}}}\)
W zeszycie mam, że przez części się to robi, ale wychodzą małe głupoty:
\(\displaystyle{ u = x}\)
\(\displaystyle{ u' = 1}\)
\(\displaystyle{ v' = x - \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}}\)
\(\displaystyle{ v = - \sqrt{a^2 - x^2}}\)
Skąd to się bierze? To w ogóle dobrze jest?
Całka z kwadratami pod pierwiastkiem
-
opti
- Użytkownik
- Posty: 323
- Rejestracja: 29 lis 2009, o 17:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wawa
- Podziękował: 53 razy
- Pomógł: 46 razy
Całka z kwadratami pod pierwiastkiem
Ostatnio zmieniony 2 sty 2013, o 20:41 przez miki999, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu.
Powód: Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Całka z kwadratami pod pierwiastkiem
brzoskwinka1, tak tyle że metoda jest już dana i to całkiem dobra
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} u= \sqrt{a^2-x^2} & \mbox{d}v= \mbox{d}x \\ \mbox{d}u=- \frac{x}{ \sqrt{a^2-x^2} } \mbox{d}x &v=x \end{vmatrix} \\
\int{ \sqrt{a^2-x^2} \mbox{d}x }=x \sqrt{a^2-x^2}+\int{ \frac{x^2}{ \sqrt{a^2-x^2} } \mbox{d}x } \\
\int{ \sqrt{a^2-x^2} \mbox{d}x }=x \sqrt{a^2-x^2}-\int{ \frac{\left( \left( a^2-x^2\right)-a^2 \right) }{ \sqrt{a^2-x^2} } \mbox{d}x }\\
2\int{ \sqrt{a^2-x^2} \mbox{d}x }=x \sqrt{a^2-x^2}+a^2\int{ \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{a^2-x^2} } }\\
2\int{ \sqrt{a^2-x^2} \mbox{d}x }=x \sqrt{a^2-x^2}+a^2\int{ \frac{ \frac{1}{a} \mbox{d}x }{ \sqrt{1-\left( \frac{x}{a} \right) ^2} } }\\
2\int{ \sqrt{a^2-x^2} \mbox{d}x }=x \sqrt{a^2-x^2}+a^2\arcsin{\left( \frac{x}{a} \right) }\\
\int{ \sqrt{a^2-x^2} \mbox{d}x }=\frac{1}{2}\left(x \sqrt{a^2-x^2}+a^2\arcsin{\left( \frac{x}{a} \right) } \right)+C}\)
Te dwie całki \(\displaystyle{ \int{ \sqrt{a^2-x^2} \mbox{d}x }}\) oraz \(\displaystyle{ \int{ \frac{x^2}{ \sqrt{a^2-x^2} } \mbox{d}x }}\) są ze sobą stowarzyszone
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} u= \sqrt{a^2-x^2} & \mbox{d}v= \mbox{d}x \\ \mbox{d}u=- \frac{x}{ \sqrt{a^2-x^2} } \mbox{d}x &v=x \end{vmatrix} \\
\int{ \sqrt{a^2-x^2} \mbox{d}x }=x \sqrt{a^2-x^2}+\int{ \frac{x^2}{ \sqrt{a^2-x^2} } \mbox{d}x } \\
\int{ \sqrt{a^2-x^2} \mbox{d}x }=x \sqrt{a^2-x^2}-\int{ \frac{\left( \left( a^2-x^2\right)-a^2 \right) }{ \sqrt{a^2-x^2} } \mbox{d}x }\\
2\int{ \sqrt{a^2-x^2} \mbox{d}x }=x \sqrt{a^2-x^2}+a^2\int{ \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{a^2-x^2} } }\\
2\int{ \sqrt{a^2-x^2} \mbox{d}x }=x \sqrt{a^2-x^2}+a^2\int{ \frac{ \frac{1}{a} \mbox{d}x }{ \sqrt{1-\left( \frac{x}{a} \right) ^2} } }\\
2\int{ \sqrt{a^2-x^2} \mbox{d}x }=x \sqrt{a^2-x^2}+a^2\arcsin{\left( \frac{x}{a} \right) }\\
\int{ \sqrt{a^2-x^2} \mbox{d}x }=\frac{1}{2}\left(x \sqrt{a^2-x^2}+a^2\arcsin{\left( \frac{x}{a} \right) } \right)+C}\)
Te dwie całki \(\displaystyle{ \int{ \sqrt{a^2-x^2} \mbox{d}x }}\) oraz \(\displaystyle{ \int{ \frac{x^2}{ \sqrt{a^2-x^2} } \mbox{d}x }}\) są ze sobą stowarzyszone
-
opti
- Użytkownik
- Posty: 323
- Rejestracja: 29 lis 2009, o 17:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wawa
- Podziękował: 53 razy
- Pomógł: 46 razy
Całka z kwadratami pod pierwiastkiem
Bardzo dziękuję za pomoc - po kłopocie -- 4 sty 2013, o 13:32 --Odświeżam temat, bo nadal mam problem:
\(\displaystyle{ \int \frac{x^2}{ \sqrt{9 - x^2} } dx}\)
Jak policzyć taką całkę?
\(\displaystyle{ \int \frac{x^2}{ \sqrt{9 - x^2} } dx}\)
Jak policzyć taką całkę?