Pochodna funkcji w punkcie, w którym jest nieokreślona

[Browning0]

Tytuł tematu może zawiły, ale starałem się jakieś informacje przydatne w nim zawrzeć.
W skrócie moje pytanie brzmi:
Jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest określona w punkcje \(\displaystyle{ x_{0}}\), to czy jej pochodna może być w tym punkcie określona?

Skąd moje pytanie wynikło? Miałem zadanie:

Czy istnieje pochodna prawostronna funkcji:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \ln{\left| x\right|} \quad \hbox{dla} \quad x<-1 \\ \frac{1}{x} \quad \quad \hbox{dla} \quad x \in \left( -1,0\right) \\ x\sin{\frac{1}{x}} \quad \hbox{dla} \quad \left( 0, \pi\right) \end{cases}}\)
w punkcie \(\displaystyle{ x_{0} = 0}\)?

Jedyne dwa znane mi wzorki na liczenie pochodnej w punkcie zakładają użycie wartości \(\displaystyle{ f(x_{0})}\), która jest nieokreślona.

[schloss]

ale tutaj jest pytanie o pochodną prawostronną, więc po prostu będzie to granica przy \(\displaystyle{ x \rightarrow 0 ^{+}}\) z pochodnej \(\displaystyle{ x \cdot \sin \left( \frac{1}{x} \right)}\)

ogólnie jeżeli pochodna prawostronna i lewostronna są sobie równe wtedy mamy do czynienia z pochodną w punkcie.

[poziomkaag]

ale tutaj jest pytanie o pochodną prawostronną, więc po prostu będzie to granica przy \(\displaystyle{ x \rightarrow 0 ^{+}}\) z pochodnej \(\displaystyle{ x \cdot \sin \left( \frac{1}{x} \right)}\)
.

dlaczego tak, możesz to jakoś wyjaśnić?

jeszcze takie pytanie. czy jeśli wyszły by pochodne jednostronne równe, ale funkcja byłaby w tym punkcie nieciągła to wniosek jest taki że nie jest różniczkowalna w tym punkcie? tzn. oprócz równości pochodnych jednostronnych ciągłość jest warunkiem koniecznym do istnienia pochodnej w tym punkcie?
tak?

a w przypadku pochodnych jednostronnych funkcja już nie musi być określona w tym punkcie? nie czaję tego. skoro pochodna jest tangensem nachylenia stycznej w tym punkcie, to do czego ma być styczna ta styczna skoro w tym punkcie nie ma funkcji