Całka podwójna a obliczenie objętośći, 2 przykłady

[SwistakCZC]

Bardzo proszę o sprawdzenie mojego toku rozumowania w rozwiązywaniu poniższych zadań i ewentualne rady, inne sposoby rozwiązań

a) Mam za zadanie obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:
\(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = a ^{2} ; \ x ^{2}+y^{2}+z^{2}=b^{2} ; \ x^{2}+y^{2}=z^{2}; \ z \ge 0; \ 0<a<b}\)

czyli mam dwie sfery jedna w drugiej i stożek. Bierzemy tylko połowę sfery, bo \(\displaystyle{ z \ge 0}\)

Czyli żeby obliczyć szukaną objętość V możemy odjąć \(\displaystyle{ V _{1} - V _{2}}\)
\(\displaystyle{ V _{1}= \iint_{D _{1}} \sqrt{b^2 - x^2 - y^2} - \sqrt{x^{2} + y ^{2}} dxdy}\)
\(\displaystyle{ V _{2}= \iint_{D _{2}} \sqrt{a ^{2} - x ^{2} - y ^{2}} - \sqrt{x^{2} + y ^{2}} dxdy}\)

Obszar D1 to okrąg będący miejscem styku stożka i większej sfery, D2 to okrąg będący miejscem styku mniejszej sfery i stożka.
O ile dobrze myślałem powyżej to jak wyznaczyć te obszary?
Wziąć taki układ równań:
\(\displaystyle{ z ^{2}= \sqrt{y ^{2} } \ \wedge \ z= \sqrt{b ^{2}-y ^{2} }}\) z tego dostaniemy y który jest promieniem koła o środku na początku układu współrzędnych.

b) Tutaj muszę obliczyć objętość elipsoidy
\(\displaystyle{ \frac{x ^{2} }{a ^{2}}+ \frac{y^{2}}{b^{2}}+z^{2} = R ^{2}}\)

Obszar całkowania jest dosyć skomplikowany:
\(\displaystyle{ -a\le x \le a \ \wedge \ - \frac{1}{b} \sqrt{R ^{2}- \frac{x ^{2} }{a ^{2} } } \le y \le \frac{1}{b} \sqrt{R ^{2}- \frac{x ^{2} }{a ^{2} } }}\)

Czy przejście na współrzędne biegunowe jakkolwiek ułatwi liczenie tej całki? Jeśli tak to w jaki sposób można to przedstawić? Wiem jak zapisać okrąg, ale z elipsą byłby problem.

[yorgin]

a) Aby wyznaczyć okręgi przecięcia się sfer i stożka, szukasz rozwiązania układu
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2+z^2=a^2 \\ x^2+y^2=z^2 \end{cases}}\)
co po podstawieniu przechodzi do postaci
\(\displaystyle{ 2z^2=a^2}\)
skąd dostajesz pierwszy okrąg. Drugi liczysz analogicznie. A wynik końcowy to i owszem różnica objętości dwóch brył.

Do samego policzenia całki polecam współrzędne sferyczne, o których wspominam przy okazji b).


b) Przechodzisz na współrzędne "eliptyczne" (nie wiem czy ta nazwa jest poprawna).
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=aR\cos\phi\sin\theta \\ y=bR\sin\phi\sin\theta\\ z=R\cos\theta \end{cases}}\)
Zmiana trywializuje Ci granice całkowania:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \phi\in[0,2\pi] \\ \theta\in[0,\pi] \\ R\in[0,1]\end{cases}}\)
Pozostaje jeszcze Jakobian i doliczenie.

[SwistakCZC]

Dzięki za pomoc, mało jest tak rzetelnych i ogarniętych użytkowników