trudny szereg do zbadania

[Tmkk]

Więc jest to wyraz typu \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{n}}{n}}\) czyli zmierza do zera. Wyciągnij z mianownika \(\displaystyle{ n}\) Więc mamy wyraz do pierwszego sinusa na kryterium ilorazowe: będzie to tenże \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{n}}{n}}\).

A nie \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{n}}{n^2}}\) ?

To już by załatwiało zadanie.

[szw1710]

Tak, chyba tam błąd zrobiłem i nie naprostowałem. Ale idea się liczy.

[salemalekum]

Nie zbyt dobrze rozumiem. Mam policzyć coś takiego?
\(\displaystyle{ \frac{-2\sin \frac{4+3 \sqrt{n} }{ \sqrt[3]{(n^3+ \sqrt{n}+7)^2 } + \sqrt[3]{n^3+ \sqrt{n}+7 } \cdot \sqrt[3]{n^3-2 \sqrt{n}+3 }+ \sqrt[3]{(n^3-2 \sqrt{n}+3)^2 } }
}{ \frac{ \sqrt{n} }{n^2} }}\)

[MISJ]

salemalekum - musisz po prostu pokazać, że argument sinusa jest zbieżny. Wtedy automatycznie z kryterium ilorazowego, ponieważ \(\displaystyle{ frac{sin x}{x} o 1, quad \(\displaystyle{ \sin x}\) również będzie zbieżny.

Ja te zadanie rozwiązałem tak:
\(\displaystyle{ \overset{\infty}{\underset{n=2}{\sum}}(\cos ((n^{3}+\sqrt{n}+7)^{\frac{1}{3}})-\cos ((n^{3}-2\sqrt{n}+3)^{\frac{1}{3}}))=}\)


\(\displaystyle{ =\overset{\infty}{\underset{n=2}{\sum}}-2\sin\left(\frac{\sqrt[3]{n^{3}+\sqrt{n}+7}-\sqrt[3]{n^{3}-2\sqrt{n}+3}}{2}\right)\cdot\sin\left(\frac{\sqrt[3]{n^{3}+\sqrt{n}+7}+\sqrt[3]{n^{3}-2\sqrt{n}+3}}{2}\right)}\)


Sprawdźmy zbieżność bezwzględną.

\(\displaystyle{ \sin\left(\frac{\sqrt[3]{n^{3}+\sqrt{n}+7}+\sqrt[3]{n^{3}-2\sqrt{n}+3}}{2}\right)\in \left<-1,1 \right>}\)
zatem
\(\displaystyle{ =\overset{\infty}{\underset{n=2}{\sum}} \left| -2\sin\left(\frac{\sqrt[3]{n^{3}+\sqrt{n}+7}-\sqrt[3]{n^{3}-2\sqrt{n}+3}}{2}\right)\cdot\sin\left(\frac{\sqrt[3]{n^{3}+\sqrt{n}+7}+\sqrt[3]{n^{3}-2\sqrt{n}+3}}{2}\right) \right| \leq 2\overset{\infty}{\underset{n=2}{\sum}} \left| \sin\left(\frac{\sqrt[3]{n^{3}+\sqrt{n}+7}-\sqrt[3]{n^{3}-2\sqrt{n}+3}}{2}\right) \right|}\)
[1]

Sprawdźmy zbieżność następującego szeregu:

[2] \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\overset{\infty}{\underset{n=2}{\sum}}\sqrt[3]{n^{3}+\sqrt{n}+7}-\sqrt[3]{n^{3}-2\sqrt{n}+3}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{2}\overset{\infty}{\underset{n=2}{\sum}}\frac{4+3\sqrt{n}}{\sqrt[3]{(n^{3}+\sqrt{n}+7)^{2}}+\sqrt[3]{n^{3}+\sqrt{n}+7} \cdot \sqrt[3]{n^{3}-2\sqrt{n}+3}+\sqrt[3]{(n^{3}-2\sqrt{n}+3)^{2}}}}\)


\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\overset{\infty}{\underset{n=2}{\sum}}\frac{4+3\sqrt{n}}{\sqrt[3]{(n^{3}+\sqrt{n}+7)^{2}}+\sqrt[3]{n^{3}+\sqrt{n}+7}\cdot\sqrt[3]{n^{3}-2\sqrt{n}+3}+\sqrt[3]{(n^{3}-2\sqrt{n}+3)^{2}}}<\frac{4\sqrt{n}}{n^{2}}=\frac{4}{n^{1.5}}}\)
(dla dostatecznie dużych n)


Na mocy kryterium porównawczego, jest to szereg zbieżny.

Sprawdźmy kryterium ilorazowe.

\(\displaystyle{ \frac{\sin \left(\frac{\sqrt[3]{n^{3}+\sqrt{n}+7}-\sqrt[3]{n^{3}-2\sqrt{n}+3}}{2}\right)}{\frac{\sqrt[3]{n^{3}+\sqrt{n}+7}-\sqrt[3]{n^{3}-2\sqrt{n}+3}}{2}}\rightarrow 1}\)


Granica istnieje i należy do \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)
, zatem zbieżność szeregu [2] implikuje zbieżność szeregu [1]. Ponieważ badany szereg jest zbieżny bezwzględnie, jest on również zbieżny.}\)

[salemalekum]

dzięki wielkie, że Ci się chciało to wszystko wpisywać w LATEX'u
mam tylko jedno pytanie: po co sprawdzałeś kryterium ilorazowe na samym końcu. Czy z tego co wcześniej napisałeś, nie wynika zbieżność?

EDIT
już chyba rozumiem, to ma związek z początkiem Twojej wypowiedzi, prawda?

[MISJ]

Tak, ale to trzeba pokazać wprost w zadaniu.

Jeszcze jedna uwaga, tam przy ostatnim porównaniu powinien być dopisek "dla dostatecznie dużych n", już go dopisuje

[mary5]

@Szw1710, w kryterium porównawczym wyszło mi, że granica wynosi \(\displaystyle{ 0}\). Dzieliłam te sinusy przez ciągi odpowiedniej postaci. Wydaje mi się, że, kryterium mówi jednoznacznie o zbieżności, jeśli granica jest liczbą z przedziału \(\displaystyle{ \left( 0; \infty \right)}\).


@MISJ
Na końcu korzystasz z zależności, że \(\displaystyle{ \sin a_{n} < a_{n}}\) i stąd z kryterium porównawczego wychodzi nam zbieżność badanego ciągu, tak?

[Jytug]

@MISJ
Skąd wzięło się to ostatnie szacowanie przez \(\displaystyle{ \frac{4 \sqrt{n} }{ n^{2} }}\)?

[MISJ]

@Jytung
Nieformalnie

\(\displaystyle{ 4 \sqrt{n} > 4+3\sqrt{n}}\) dla dostatecznie dużych n

Natomiast z \(\displaystyle{ \sqrt[3]{(n^3+\sqrt{n}+7)^2}+\sqrt[3]{n^3+\sqrt{n}+7}\cdot\sqrt[3]{n^3-2\sqrt{n}+3}+\sqrt[3]{(n^3-2\sqrt{n}+3)^2}}\) wyciągnąłem \(\displaystyle{ n^2}\), i reszta zbiega do zera, więc dla dostatecznie dużych n fakt że licznik jest większy o 1/3 \(\displaystyle{ \sqrt{n}}\) zniweluje tę różnicę

-- 6 sty 2013, o 17:10 --

@mary5

Nie, korzystam z granicy \(\displaystyle{ \frac{\sin(x)}{x} \to 1.}\) Następnie pokazuje, że skoro \(\displaystyle{ \frac{\sin(x)}{x} \to 1}\), to zbieżność \(\displaystyle{ \sin(x)}\) jest równoważna zbieżności \(\displaystyle{ x.}\)

Ponieważ wcześniej pokazałem, że argument sinusa jest zbieżny, to \(\displaystyle{ \sin(x)}\) jest również zbieżny co należało wykazać.