Algebra zbiorów i teoria mnogości

[wesp]

Czy byłby ktoś tak miły i zrobił mi te zadania?

1.Udowodnij, że dla dowolnych zbioró A,B,C natępujące warunki są równoważne:
a) (A∩B)∪C=A∩(B∪C)
b) \(\displaystyle{ C \subseteq A}\)

2. Podaj przykład takich zbiorów A, X, Y, że: \(\displaystyle{ A \subset X, A \subset Y, ale A \subseteq}\) (tutaj jest nie zawiera) \(\displaystyle{ X \cap Y}\).
Czy takie zbiory istnieją, jeśli symbol " \(\displaystyle{ \subset}\) " zastapimy przez " \(\displaystyle{ \subseteq}\) "

3. Udowodnij, że zbiór {0,1}n , czyli zbió wszystkich ciągów zero-jedynkowych, jest nieprzeliczalny.

4. Czy formuła \(\displaystyle{ (p \rightarrow \sim q) \rightarrow ( \sim p \rightarrow \sim q)}\) moze być otrzymana z formuły \(\displaystyle{ q \rightarrow (p \rightarrow r)}\) przez zastosowanie operacji podstawiania? Wyjaśnij.

5.Czy \(\displaystyle{ q \in Cn({q \rightarrow \sim q})}\) [Cn oznacza operację konsekwencji wyznaczoną przez dwuelementową matrycę logiczną].

Z góry dziękuję za pomoc, dobrzy ludzi.

-- 3 lip 2009, o 20:49 --

[Jan Kraszewski]

2. Podaj przykład takich zbiorów A, X, Y, że: \(\displaystyle{ A \subset X, A \subset Y, ale A \subseteq}\) (tutaj jest nie zawiera) \(\displaystyle{ X \cap Y}\).

Mógłbyś doprecyzować, co znaczy

\(\displaystyle{ A \subseteq}\) (tutaj jest nie zawiera) \(\displaystyle{ X \cap Y}\)?

JK

[Kris-0]

2. Podaj przykład takich zbiorów A, X, Y, że: \(\displaystyle{ A \subset X, A \subset Y, ale A \subseteq}\) (tutaj jest nie zawiera) \(\displaystyle{ X \cap Y}\).

Mógłbyś doprecyzować, co znaczy

\(\displaystyle{ A \subseteq}\) (tutaj jest nie zawiera) \(\displaystyle{ X \cap Y}\)?

JK

Chyba chodzi to, że \(\displaystyle{ A \subset X, \;A \subset Y}\), ale \(\displaystyle{ A \not\subseteq X \cap Y}\)

[wesp]

Tak, o to właśnie chodzi.
Prosze o pomoc z tymi zadaniami.

[Platonik]

Czy byłby ktoś tak miły i zrobił mi te zadania?

1.Udowodnij, że dla dowolnych zbioró A,B,C natępujące warunki są równoważne:
a) (A∩B)∪C=A∩(B∪C)
b) \(\displaystyle{ C \subseteq A}\)

2. Podaj przykład takich zbiorów A, X, Y, że: \(\displaystyle{ A \subset X, A \subset Y, ale A \subseteq}\) (tutaj jest nie zawiera) \(\displaystyle{ X \cap Y}\).
Czy takie zbiory istnieją, jeśli symbol " \(\displaystyle{ \subset}\) " zastapimy przez " \(\displaystyle{ \subseteq}\) "

3. Udowodnij, że zbiór {0,1}n , czyli zbió wszystkich ciągów zero-jedynkowych, jest nieprzeliczalny.

4. Czy formuła \(\displaystyle{ (p \rightarrow \sim q) \rightarrow ( \sim p \rightarrow \sim q)}\) moze być otrzymana z formuły \(\displaystyle{ q \rightarrow (p \rightarrow r)}\) przez zastosowanie operacji podstawiania? Wyjaśnij.

5.Czy \(\displaystyle{ q \in Cn({q \rightarrow \sim q})}\) [Cn oznacza operację konsekwencji wyznaczoną przez dwuelementową matrycę logiczną].

Z góry dziękuję za pomoc, dobrzy ludzi.

-- 3 lip 2009, o 20:49 --

Ad 1.
\(\displaystyle{ ( \Rightarrow)}\)

Załóżmy, że \(\displaystyle{ \neg C \subseteq A}\). Wtedy istnieje \(\displaystyle{ x \in C \backslash A}\). To \(\displaystyle{ x}\) należy do zbioru z lewej strony równania, bo należy do \(\displaystyle{ C}\), ale nie należy do tego po prawej, bo nie naleźy do \(\displaystyle{ A}\), więc tym bardziej nie należy do przekroju \(\displaystyle{ A}\) z innym zbiorem.
\(\displaystyle{ ( \Leftarrow)}\)

Niech \(\displaystyle{ C \subseteq A}\). Mam pokazać równość a).
Niech \(\displaystyle{ x \in (A \cap B) \cup C}\). Jeśli \(\displaystyle{ x \in A\cap B}\), to tym bardziej \(\displaystyle{ x\in A}\), oraz \(\displaystyle{ x\in B\cup C}\); jeśli \(\displaystyle{ x\in C}\), to, ponieważ \(\displaystyle{ C \subseteq A}\), to \(\displaystyle{ x\in A}\) i oczywiście \(\displaystyle{ x\in B\cup C}\).

W drugą stronę:
Niech \(\displaystyle{ x\in A\cap (B\cup C)}\). Czyli \(\displaystyle{ x\in A}\), oraz \(\displaystyle{ x\in B}\) bądź \(\displaystyle{ x\in C}\). Jeśli \(\displaystyle{ x\in B}\), to \(\displaystyle{ x\in A\cap B}\); jeśli \(\displaystyle{ x\in C}\), to \(\displaystyle{ x\in C}\). W każdym razie \(\displaystyle{ x\in (A\cap B)\cup C}\).

Ad 2. Nie ma takich. Chyba że to trzecie zawieranie to miało być słabe. No to wtedy np.
A=Ø, X={Ø}, Y={{Ø}}. Wtedy A jest zawarte w X i w Y, ale jest równe ich przekrojowi.

Ad 3. Załóżmy, że jest przeliczalny i że wszystkie te ciągi są ustawione w ciąg:

10010101010100101000...
00101001011010101001...
01111100000000000000...
...

Tworzę nowy ciąg 0-1-kowy, którego nie jest wyrazem powyższego ciągu, biorąc jako n-ty wyraz tego nowego ciągu 1, gdy n-ty wyraz n-tego ciągu na liście to 0, i biorąc 0, gdy n-ty wyraz n-tego ciągu to 1. A więc nie istnieje surjekcja ze zbioru l. naturalnych na zbiór funkcji z N w {0,1}. Czyli ten zbiór jest nieprzeliczalny.

Ad 4. Wystarczy chyba podstawić:
\(\displaystyle{ p= \neg p,
q=(p \rightarrow \neg q),
r=\neg q}\)

Ad 5. Nie, bo dla q fałszywego implikacja jest prawdziwa, a samo q nie.