Opisywanie zbiorów

[Barb]

a. Liczby parzyste to liczby naturalne.

W matematyce liczby parzyste i liczby nieparzyste to liczby całkowite odpowiednio podzielne lub niepodzielne przez 2.

źródło: wikipedia

[miodzio1988]

Ok. No to zamiast naturalnych napisz całkowite. Nie jest to duża różnica. W definicje bawić mi się nie chce.

[Jan Kraszewski]

a. \(\displaystyle{ A=\{2n:n\in N\}}\)

Tutaj mam pytanie: dlaczego n należy do naturalnych? czy liczby parzyste nie mogą być liczbami całkowitymi?

Zadanie nie jest dokładnie sprecyzowane (nie wiadomo, czy chodzi o naturalne parzyste, czy o całkowite parzyste), więc uznałbym obie odpowiedzi, zarówno \(\displaystyle{ A=\{2n:n\in \NN\}}\), jak i \(\displaystyle{ A=\{2n:n\in \ZZ\}}\).

JK

[nogiln]

Masz trzy sposoby opisywania zbiorów:
1. przez wymienienie elementów - w nawiasach klamrowych wypisujesz elementy zbioru, oddzielone przecinkami: \(\displaystyle{ \{1,2,3,4,5\}}\) lub \(\displaystyle{ \{1,\{1\}\}}\);
2. przez funkcję zdaniową: \(\displaystyle{ \{x\in A:\varphi(x)\}}\) - jest to zbiór tych elementów zbioru \(\displaystyle{ A}\), które mają własność \(\displaystyle{ \varphi}\). Przykład: \(\displaystyle{ H=\{x\in\mathbb{Z}:x<0\land x\ge -8\}}\);
3. przez operację: \(\displaystyle{ \{\psi(x):x\in A\}}\) - jest to zbiór elementów, które otrzymujemy jako wynik działania operacji (funkcji) \(\displaystyle{ \psi}\) na elementy zbioru \(\displaystyle{ A}\). Przykład: \(\displaystyle{ \{2n:n\in\mathbb{Z}\}}\).

JK

Różnica między tymi dwoma sposobami zapisu jest dla mnie niezrozumiała, ponieważ w funkcji zdaniowej własność \(\displaystyle{ \varphi}\) jest na drugim miejscu a opis przez operację ma własność \(\displaystyle{ \psi}\) za pierwszym miejscu. W obu tych opisach podjemy dziedzinę i przepis jakie elementy będą należeć do zbioru.

-- 23 kwietnia 2013, 20:52 --

f) \(\displaystyle{ F = \{ x: x \in C \wedge \sqrt{2} \left| x\}}\)

Zupełnie źle.

JK

Czy te odp. są poprawne?

\(\displaystyle{ a)F=\{x:x= \sqrt{2}n, n \in \ZZ\}\\b)F=\{\sqrt{2}n,n \in \ZZ\}}\)

[Jan Kraszewski]

Masz trzy sposoby opisywania zbiorów:
1. przez wymienienie elementów - w nawiasach klamrowych wypisujesz elementy zbioru, oddzielone przecinkami: \(\displaystyle{ \{1,2,3,4,5\}}\) lub \(\displaystyle{ \{1,\{1\}\}}\);
2. przez funkcję zdaniową: \(\displaystyle{ \{x\in A:\varphi(x)\}}\) - jest to zbiór tych elementów zbioru \(\displaystyle{ A}\), które mają własność \(\displaystyle{ \varphi}\). Przykład: \(\displaystyle{ H=\{x\in\mathbb{Z}:x<0\land x\ge -8\}}\);
3. przez operację: \(\displaystyle{ \{\psi(x):x\in A\}}\) - jest to zbiór elementów, które otrzymujemy jako wynik działania operacji (funkcji) \(\displaystyle{ \psi}\) na elementy zbioru \(\displaystyle{ A}\). Przykład: \(\displaystyle{ \{2n:n\in\mathbb{Z}\}}\).

Różnica między tymi dwoma sposobami zapisu jest dla mnie niezrozumiała, ponieważ w funkcji zdaniowej własność \(\displaystyle{ \varphi}\) jest na drugim miejscu a opis przez operację ma własność \(\displaystyle{ \psi}\) za pierwszym miejscu. W obu tych opisach podjemy dziedzinę i przepis jakie elementy będą należeć do zbioru.

\(\displaystyle{ \psi}\) nie jest własnością, tylko operacją. Różnica polega na typie tego wyrażenia.

Opisując zbiór przy pomocy funkcji zdaniowej bierzesz zbiór \(\displaystyle{ A}\), bierzesz własność \(\displaystyle{ \varphi(x)}\) i zapisujesz zbiór wszystkich tych elementów zbioru \(\displaystyle{ A}\) (\(\displaystyle{ \{x\in A}\)), które (\(\displaystyle{ :}\)) mają własność \(\displaystyle{ \varphi}\) (\(\displaystyle{ \varphi(x)\}}\)).

Opisując zbiór przy pomocy operacji, bierzesz zbiór \(\displaystyle{ A}\), operację \(\displaystyle{ \psi(x)}\) i zapisujesz zbiór wyników działania operacji \(\displaystyle{ \psi}\) (\(\displaystyle{ \{\psi(x)}\)) zastosowanej (\(\displaystyle{ :}\)) do elementów zbioru \(\displaystyle{ A}\) (\(\displaystyle{ x\in A\}}\)).

Czy te odp. są poprawne?

\(\displaystyle{ a)F=\{x:x= \sqrt{2}n, n \in \ZZ\}\\b)F=\{\sqrt{2}n,n \in \ZZ\}}\)

Poprawne (z formalnego punktu widzenia) jest b) (choć wolałbym dwukropek, a nie przecinek).

JK

[nogiln]

Czym różni się ten zapis \(\displaystyle{ \{2n:n \in \ZZ\}}\) od tego \(\displaystyle{ \{n \in \ZZ:2n\}}\)?

[nne]

Czym różni się ten zapis \(\displaystyle{ \{2n:n \in \ZZ\}}\) od tego \(\displaystyle{ \{n \in \ZZ:2n\}}\)?

Dla mnie druga wersja jest bez sensu.

[miki999]

Dla mnie druga wersja jest bez sensu.

Dla mnie też, ale już \(\displaystyle{ \{n \in \ZZ:2|n\}}\) jest ok.


Pozdrawiam.

[Jan Kraszewski]

Czym różni się ten zapis \(\displaystyle{ \{2n:n \in \ZZ\}}\) od tego \(\displaystyle{ \{n \in \ZZ:2n\}}\)?

Kolejnością. Oraz tym, że drugi zapis jest niepoprawny.

JK

[nogiln]

miki999, napisał \(\displaystyle{ \{n \in \ZZ: 2|n\}}\), dla mnie tak samo wygląda ten zapis \(\displaystyle{ \{n \in \ZZ: 2n\}}\). W zapis miki999, jak dobrze rozumiem, chodzi o liczby parzyste i w drugim też.

[Jan Kraszewski]

Wygląda zdecydowanie inaczej. W zapisie mikiego masz własność \(\displaystyle{ 2|n}\), czyli "\(\displaystyle{ 2}\) dzieli \(\displaystyle{ n}\)". W tym drugim zapisie masz operację brania dwukrotności liczby \(\displaystyle{ n}\). W matematyce tak jest, że każdy zapis ma swoje dokładne znaczenie i trzeba ich zgodnie z tym znaczeniem używać. To że dwa zapisy są wizualnie podobne nie oznacza, że mają podobne znaczenia. Te dwa zapisy powyżej tak się różnią od siebie, jak predykat od termu...

JK